Параметри Твіса

Параметри Твісса (параметри Коурана-Снайдера) — це параметри, що використовуються у фізиці прискорювачів для характеристики якості пучка. Вони природно виникають при розв'язку рівняння Гілла:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}+K(s)u=0}$

тут s- орбіта референсної частинки (та, від якої відраховується положення всіх інших частинок в пучку), а K(s) — параметр сили магнітного поля. Рух в такому разі є рухом псевдогармонічного осцилятора зі змінною частотою і амплітудою (бетатронні осциляції). Застосовуючи теорію Флоке до розв'язку даного рівняння, будемо шукати розв'язок на кшталт:

${\displaystyle u(s)={\sqrt {\epsilon \beta (s)}}cos(\phi (s))}$

У такому разі отримаємо 2 рівняння:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\beta \beta ''-{\frac {1}{4}}\beta '^{2}+\beta ^{2}K=1}$

та ${\displaystyle \beta \phi '=1}$

Означимо:

${\displaystyle \alpha =-{\frac {\beta '}{2}}}$;

${\displaystyle \gamma ={\frac {1+\alpha ^{2}}{\beta }}}$

Тоді рівняння перепишеться у вигляді

${\displaystyle \beta ''+2K\beta -2\gamma =0}$

Звідси можна отримати параметри Твіса (3 незалежні і 1 залежний):

• ${\displaystyle \alpha }$ — відноситься до нахилу пучка,
• ${\displaystyle \beta }$ — відноситься до форми і розміру пучка (бета функція),
• ${\displaystyle \epsilon }$ — відноситься до розміру пучка (емітанс),
• ${\displaystyle \gamma }$ — залежить від ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$.

Використовуючи вирази ${\displaystyle u,u'}$, можна отримати рівняння еліпса

${\displaystyle \epsilon =\gamma u^{2}+2\alpha uu'+\beta u'^{2}}$

Площа еліпса:

${\displaystyle \int dx'dx=\pi \epsilon }$

Фізична інтерпретація цього рівняння є така: одна частинка рухається у фазовому просторі (відстань, швидкість) вздовж контуру еліпса з параметрами ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$. Всі частинки з меншими бетатронними коливальними амплітудами будуть залишатись всередині цього еліпса. Бета функція є функцією траєкторії, а тому еліпс буде змінюватись з часом, але частинка все-одно залишатиметься на ньому. Таким чином опис ансамблю частинок, що формують пучок може бути зведений до опису єдиної частинки.