Переставні матриці

Квадратні матриці $\ A,\;B$ з комплексними елементами називаються переставни́ми (комутуючими), якщо

\ AB=BA.

Властивості

Якщо матриці $A,B$ є переставними, то в них існує спільний власний вектор:

AB=BA\quad \Rightarrow \quad \exists \;v,\lambda _{1},\lambda _{2}:\;\;Av=\lambda _{1}v,\;Bv=\lambda _{2}v.

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць. Доведення за допомогою слабкої теореми Гільберта про нулі.

Якщо матриці $A,B$ є переставними та нормальними, то в них всі власні вектори є спільними:

\exists \;U,\Lambda _{1},\Lambda _{2}:\quad A=U\Lambda _{1}U^{*},\quad B=U\Lambda _{2}U^{*},\quad U^{*}U=I.

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.

Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці $A,B$ є нормальними та переставними, тоді матриці:

\ AB,A+B,kA

— теж будуть нормальними та переставними.

Над алгебраїчно замкнутим полем переставні матриці $A,B$ є одночасно приводимими до трикутного вигляду:

\exists \;P,L_{1},L_{2}:\quad A=P^{-1}L_{1}P,\quad B=P^{-1}L_{2}P,\quad \det(P)\neq 0.

Приклад

Одинична матриця є переставною зі всіма матрицями і тому має з кожною з них хоча б один спільний власний вектор.

Дивись також

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.