Комутативність

Збирання до купи яблук, що можна розглядати як наглядний приклад додавання натуральних чисел, є комутативним.

Надягання шкарпеток є комутативною операцією, оскільки не важливо яка шкарпетка вдягається першою. Іншими словами, результат (вдягнені будуть обидві шкарпетки), залишається однаковим. На противагу, вдягання куртки і сорочки не є комутативною.

Комутативність додавання можна спостерігати при розрахунках в магазині. В якому порядку б не було впорядковано рахунок, сума завжди буде однаковою.

Додавання векторів є комутативним, оскільки ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$.

Два добре відомих приклади комутативних бінарних операцій:[1]

• Додавання дійсних чисел є комутативним, оскільки

${\displaystyle y+z=z+y\qquad {\mbox{для всіх }}y,z\in \mathbb {R} }$

Наприклад 4 + 5 = 5 + 4, оскільки обидва вирази дорівнюють 9.

• Добуток дійсних чисел є комутативним, оскільки

${\displaystyle yz=zy\qquad {\mbox{для всіх }}y,z\in \mathbb {R} }$

Наприклад, 3 × 5 = 5 × 3, оскільки обидва вирази дають результат 15.

• Деякі бінарні функції істинності також є комутативними, оскільки таблиці істинності для функцій будуть однакові навіть при зміні порядку операндів.

Наприклад, функція Логічної еквівалентності p ↔ q є такою ж і для q ↔ p. Функцію також формулюють як умову "p тоді і тільки тоді, коли q", або записують як p ≡ q, або Epq.

Інші приклади комутативних бінарних операцій: додавання і множення комплексних чисел; додавання векторів; перетин, об'єднання та симетрична різниця множин.

Важливими некомутативними операціями є множення матриць та векторне множення.

Віднімання є некомутативною операцією, оскільки ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$.

Ділення є некомутативною операцією, оскільки ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$.

Деякі функції істинності не є комутативними, оскільки таблиця істинності буде різною якщо змінювати порядок операндів. Наприклад, таблиця істинності для f (A, B) = A Λ ¬B (A І НЕ B) і f (B, A) = B Λ ¬A буде наступною:

Операція множення матриць майже в усіх випадках не є комутативною, наприклад:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

Векторний добуток двох векторів тривимірного простору є антикомутативним; тобто, b × a = −(a × b).

Властивість асоціативності тісно пов'язана із властивістю комутативності. Асоціативна властивість виразу, що містить два або більше операндів, над якими здійснюється однакова операція говорить те, що порядок виконування операцій в такому випадку не змінює кінцевий результат, до тих пір доки порядок операндів не змінюється. На відміну від цього, властивість комутативності говорить про те, що порядок операцій не впливає на результат.

Більшість комутативних операцій, що зустрічаються на практиці є також часто асоціативними. Однак, це не означає, що комутативність передбачає асоціативність. Як контраргумент приведено наступний приклад функції

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$

яка є комутативною (зміна місцями x і y не приведе до зміни результату), але вона не буде асоціативною (оскільки, для прикладу, ${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$ але ${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$).

Графік, що показує симетрію функції додавання

Деякі форми симетрії можуть бути напряму пов'язані із комутативністю операцій. Коли комутативний оператор записується як бінарна функція, тоді результуюча функція є симетричною вздовж прямої y = x. Наприклад, якщо ми маємо функцію f що представляє додавання (комутативна операція) то f(x,y) = x + y і тоді f є симетричною функцією, як видно із зображення праворуч.