Квадратна матриця

Якщо всі елементи за межами основної діагоналі дорівнюють нулю, ${\displaystyle A}$ називається діагональною матрицею. Якщо тільки всі елементи вище (або нижче) основної діагоналі дорівнюють нулю, ${\displaystyle A}$ називається нижньо (або верхньо) трикутною матрицею.

Одинична матриця ${\displaystyle I_{n}}$ розміру ${\displaystyle n}$ — це ${\displaystyle (n\times n)}$-матриця, у якій всі елементи на головній діагоналі рівні ${\displaystyle 1}$, а всі інші елементи дорівнюють ${\displaystyle 0}$, наприклад

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Це квадратна матриця порядку ${\displaystyle n}$, а також особливий вид діагональної матриці. Її називають одиничною матрицею, оскільки добуток з нею залишає матрицю незмінною:

${\displaystyle AI_{n}=I_{m}A=A\quad }$ для будь-якої ${\displaystyle (m\times n)}$-матриці ${\displaystyle A}$.

Квадратна матриця ${\displaystyle A}$, яка дорівнює її транспонованій, тобто ${\displaystyle A=A^{\rm {T}}}$, називається симетричною матрицею. Якщо ${\displaystyle A}$ дорівнюватиме його транспонованій матриці з мінусом, тобто ${\displaystyle A=-A^{\rm {T}}}$, то ${\displaystyle A}$ називається кососиметричною матрицею. У комплексних матрицях симетрію часто замінюють поняттям ермітових матриць, які задовольняють рівності ${\displaystyle A^{\rm {H}}=A}$, де ${\displaystyle A^{\rm {H}}}$ — ермітово-спряжена матриця, тобто транспонована комплексно-спряжена матриця.

За спектральною теоремою, дійсні симетричні (або комплексні ермітові) матриці мають ортогональний (або ортонормований) базис, тобто кожен вектор виражається через лінійну комбінацію власних векторів. В обох випадках усі власні значення є дійсними.[1] Цю теорему можна узагальнити до нескінченновимірного випадку, пов'язаного з матрицями, які мають нескінченно багато рядків і стовпців.

Квадратну матрицю ${\displaystyle A}$ називають невиродженою (або несингулярною), якщо існує матриця ${\displaystyle B}$ така, що [2]

${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$

Якщо ${\displaystyle B}$ існує, то вона єдина і називається оберненою матрицею до матриці ${\displaystyle A}$ і позначається ${\displaystyle A^{-1}}$.

Квадратну матрицю ${\displaystyle A}$ називають нормальною, якщо ${\displaystyle A^{\rm {T}}A=AA^{\rm {T}}}$, тобто якщо вона комутує з своєю транспонованою матрицею.

Додатно визначена	Невизначена
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}+y^{2}}$	${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}}$
Точки для яких ${\displaystyle Q(x,y)}$ = 1 ( еліпс).	Точки для яких ${\displaystyle Q(x,y)}$ = 1 ( гіпербола).

Симетричну ${\displaystyle (n\times n)}$-матриця називають додатно визначеною (відповідно від'ємно визначеною або невизначеною), якщо для всіх ненульових векторів ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ відповідна квадратична форма

${\displaystyle Q(x)=x^{\rm {T}}Ax}$

приймає лише додатні значення (відповідно лише від'ємні або як деякі від'ємні так і деякі додатні значення).[3] Якщо квадратична форма приймає лише невід'ємні значення (відповідно лише недодатні) значення, то симетрична матриця називається додатно напіввизначеною (відповідно від'ємно напіввизначена). Отже, матриця є невизначеною саме тоді, коли вона не є ні додатно напіввизначеною, ні від'ємно напіввизначеною.

Симетрична матриця є додатно визначеною тоді і лише тоді, коли всі її власні значення додатні[4]. У таблиці показано дві можливості для ${\displaystyle (2\times 2)}$-матриць.

Якщо використати два різні вектори, то отримаємо білінійну форму пов'язану з матрицею ${\displaystyle A}$: [5]

${\displaystyle B_{A}(x,y)=x^{\rm {T}}Ay.}$

Ортогональна матриця — це квадратна матриця з дійсними елементами, стовпці та рядки якої є ортогональними одиничними векторами (тобто, ортонормованими векторами). Еквівалентно, матриця ${\displaystyle A}$ є ортогональною, якщо її транспонована матриця дорівнює її оберненій:

${\displaystyle A^{\rm {T}}=A^{-1}}$

звідки випливає

${\displaystyle A^{\rm {T}}A=AA^{\rm {T}}=I,}$

де ${\displaystyle I}$ — одинична матриця.

Ортогональна матриця ${\displaystyle A}$ завжди має обернену (${\displaystyle A^{-1}=A^{\rm {T}}}$), унітарну (${\displaystyle A^{-1}=A^{*}}$) і нормальну (${\displaystyle A^{*}A=AA^{*})}$ матрицю. Визначник будь-якої ортогональної матриці дорівнює або ${\displaystyle +1}$, або ${\displaystyle -1}$. Спеціальна ортогональна матриця — ортогональна матриця з визначником ${\displaystyle +1}$. Як лінійне перетворення, кожна ортогональна матриця з визначником ${\displaystyle +1}$ — це простий поворот, тоді як кожна ортогональна матриця з визначником ${\displaystyle -1}$ є простим відзеркаленням, або суперпозицією віддзеркаленя і повороту.

Комплексний аналог ортогональної матриці — це унітарна матриця.

Слід квадратної матриці ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\operatorname {tr} (A))}$ — це сума її елементів головної діагоналі. Хоча множення матриці не є комутативним, слід добутку двох матриць не залежить від порядку множників:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$

Це безпосередньо випливає з означення множення матриць:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$

Також слід матриці дорівнює сліду її транспонованої матриці, тобто

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} \left(A^{\rm {T}}\right).}$

Визначник ${\displaystyle \det(A)}$ або ${\displaystyle |A|}$ квадратної матриці ${\displaystyle A}$ — це число, що визначає певні властивості матриці. Матриця є невиродженою тоді і лише тоді, коли її визначник ненульовий. Абсолютне значення визначника дорівнює площі (в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) або об'єму (в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) образу одиничного квадрату (або кубу), при цьому знак визначника відповідає орієнтації відповідного лінійного відображення, визначник додатній тоді і лише тоді, коли орієнтація зберігається. Визначник ${\displaystyle (2\times 2)}$-матриць обчислюється за формулою

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$

Визначник ${\displaystyle (3\times 3)}$-матриць використовує 6 добутків (правило Сарруса). Більш довша формула Лейбница узагальнює ці дві формули для будь-якої розмірності.[6]

Лінійне перетворення в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, що задане вказаною матрицею. Визначник цієї матриці дорівнює ${\displaystyle -1}$, оскільки площа зеленого паралелограма праворуч дорівнює ${\displaystyle 1}$, але відображення змінило орієнтацію векторів (з орієнтації проти годинникової стрілки на орієнтацію за годинниковою стрілкою).

Визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників:[7]

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B).}$

Додавання будь-якого рядка з коефіцієнтом до другого рядка, або будь-якого стовпця з коефіцієнтом до другого стовпця не змінює визначник. Перестановка місцями двох рядків або стовпців приводить до зміни знаку визначника.[8] За допомогою цих операцій будь-яка матриця може бути зведена на нижньо (або верхньо) трикутної матриці, а для таких матриць визначник дорівнює добутку елементів по головній діагоналі, що дає метод обчислювання визначника будь-якої матриці. Нарешті, теорема Лапласа виражає визначник у термінах мінорів, тобто визначників матриць меншої розмірності [9]. Ця теорема дає можливість рекурсивного обчислення визначників (починаючи з визначника ${\displaystyle (1\times 1)}$-матриці, або навіть з визначника ${\displaystyle (0\times 0)}$-матриці, який дорівнює 1), що можна розглядати як еквівалент формулі Лейбніца. Визначники можна використовувати для розв'язання лінійних систем за допомогою метода Крамера, де відношення визначників двох пов'язаних квадратних матриць дорівнює значенню кожної зі змінних системи.[10]

Квадратні матриці застосовують для опису лінійного перетворення векторного простору.

${\displaystyle f\colon \ V_{K}\to V_{K}.}$

Для запису лінійного перетворення матрицею в лінійному просторі потрібно вибрати базис.

Для дослідження властивостей лінійного перетворення використовують власні вектори та власні значення матриці.

Число ${\displaystyle \lambda }$ і ненульовий вектор ${\displaystyle v}$, що задовольняють рівності

${\displaystyle Av=\lambda v,}$

називаються власним значенням та власним вектором матриці ${\displaystyle A}$ відповідно.[11][12] Число ${\displaystyle \lambda }$ — власне значення ${\displaystyle (n\times n)}$-матриці ${\displaystyle A}$ тоді і лише тоді, коли матриця ${\displaystyle A-\lambda I_{n}}$ немає оберненої, що еквівалентно[13] умові

${\displaystyle \det(A-\lambda I_{n})=0.}$

Многочлен (поліном) ${\displaystyle p_{A}}$ змінної ${\displaystyle x}$, отриманий як визначник матриці ${\displaystyle \det(xI_{n}-A)}$, називається характерестичним многочленом матриці ${\displaystyle A}$. Це нормований многочлен степеня ${\displaystyle n}$. Тому рівняння ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=0}$ має максимум ${\displaystyle n}$ різних коренів, тобто власних значень матриці.[14] Ці значення можуть бути комплексними, навіть якщо всі елементи матриці ${\displaystyle A}$ дійсні. Згідно теореми Гамільтона-Келі , ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$, тобто при підстановці самої матриці в характеристичний многочлен, отримаємо нульову матрицю.