Полярний розклад матриці

Оскільки:

${\displaystyle \ AA^{*}=PUU^{*}P=P^{2}}$

${\displaystyle \ A^{*}A=P_{1}UU^{*}P_{1}=P_{1}^{2}}$

матриці ${\displaystyle P,P_{1}\!}$ однозначно визначаються як:

${\displaystyle \ P={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}}$

${\displaystyle \ P_{1}={\sqrt {A^{*}A}}=V\Sigma V^{*}}$

Якщо матриця ${\displaystyle \ A}$ — нормальна, то ${\displaystyle \ A^{*}A=AA^{*}}$ за визначенням.

Використавши ${\displaystyle \ U=P^{-1}A}$ отримаємо ${\displaystyle \ U=WV^{*}.}$

Використавши ${\displaystyle \ U=AP_{1}^{-1}}$ знову ж отримаємо ${\displaystyle \ U=WV^{*}.}$

Якщо матриця ${\displaystyle \ A}$ — нормальна, тоді матриці ${\displaystyle \ P,U,\Sigma }$ — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:

${\displaystyle \exists \;Q,\Sigma ,\Phi$ :\quad Q\Sigma Q^{*}=P,\quad Q\Phi Q^{*}=U,}

де

${\displaystyle \ Q}$ — унітарна матриця,

${\displaystyle \ \Sigma }$ — невід'ємноозначена діагональна матриця,

${\displaystyle \ \Phi }$ — унітарна діагональна матриця.

Тоді

${\displaystyle A=\ (Q\Sigma Q^{*})(Q\Phi Q^{*})=Q(\Sigma \Phi )Q^{*}}$ — власний розклад матриці.

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)