Просте кільце

• Розглянемо кільце ${\displaystyle R}$ таке, що ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\}}$, і аддитивна група ${\displaystyle \langle R+\rangle }$ має простий порядок. Тоді кільце ${\displaystyle R}$ — просте, оскільки в ${\displaystyle \langle R+\rangle }$ немає власних підгруп.
• Асоціативне комутативне кільце ${\displaystyle R\,}$ з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle R\,}$ просте кільце.

Припустимо спершу, що ${\displaystyle R\,}$ задовольняє всі умови теореми і є простим. Нехай ${\displaystyle x\in R}$ деякий ненульових елемент. Тоді ${\displaystyle Rx\,}$ є ненульовим ідеалом оскільки ${\displaystyle x=x\cdot 1\in Rx}$. Зважаючи на простоту кільця одержуємо ${\displaystyle Rx=R\,}$. Звідси випливає існування елемента ${\displaystyle y\in R}$, такого що ${\displaystyle yx=1\,}$.

Навпаки, припустимо ${\displaystyle R\,}$ — деяке поле і ${\displaystyle I\,}$ його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент ${\displaystyle x\,}$ він також містить ${\displaystyle r=rx^{-1}x\,}$ для всіх ${\displaystyle r\in R}$, тобто ${\displaystyle I=R\,}$, що й доводить простоту.

• Якщо ${\displaystyle P\,}$— поле, ${\displaystyle n\,}$ — додатне ціле число, то кільце матриць ${\displaystyle \mathrm {Mat} (P,n)\,}$ — просте.

Для доведення спершу позначимо ${\displaystyle E_{i,j}\,}$ матриці в яких на позиції ${\displaystyle (i,j)\,}$ стоїть одиничний елемент поля, а на інших позиціях нулі. Тоді одиничну матрицю можна записати ${\displaystyle E=\sum _{i=1}^{n}E_{i,i}}$. Нехай тепер ${\displaystyle I\,}$ — деякий ненульовий ідеал, а ${\displaystyle x\in I}$ — ненульовий елемент. Виконується рівність

${\displaystyle x=ExE=\sum _{i,j}^{}E_{i,i}xE_{j,j}}$. Для деякої пари ${\displaystyle (i,j)\,}$ виконується ${\displaystyle y=E_{i,i}xE_{j,j}\neq 0}$. Оскільки елементи ${\displaystyle E_{i,j}\,}$ є базисними то можна записати ${\displaystyle y=\sum _{r,s}^{}y_{r,s}E_{r,s}}$. Очевидно ${\displaystyle y=y_{i,j}E_{i,j}\quad y_{i,j}\neq 0}$. Звідси одержуємо ${\displaystyle E_{i,j}\in I}$. З властивостей множення базисних елементів одержуємо, що всі вони належать ідеалу і відповідно ${\displaystyle I=\mathrm {Mat} (P,n)\,}$

• Центр простого кільця з одиницею є полем і кожне просте кільце є центральною простою алгеброю над своїм центром.

Нехай ${\displaystyle a\in Z(R)}$. Якщо цей лемент не є оборотним, то  ${\displaystyle 1\not \in aR=Ra.}$ Але тоді  ${\displaystyle aR}$ є нетривіальним двостороннім ідеалом.

Також для довільного ${\displaystyle r\in R}$ виконується рівність ${\displaystyle a^{-1}r=a^{-1}(ra)a^{-1}=a^{-1}(ar)a^{-1}=ra^{-1}}$. Тобто ${\displaystyle a^{-1}\in Z(R)}$ і центр кільця є полем.

Нехай ${\displaystyle R\,}$ — просте кільце Артіна. Тоді кільце ${\displaystyle R\,}$ ізоморфне кільцю всіх матриць порядку ${\displaystyle n\,}$ над деяким тілом. При цьому ${\displaystyle n\,}$ визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Навпаки, для будь-якого тіла ${\displaystyle D\,}$ кільце ${\displaystyle \mathrm {Mat} (D,n)\,}$ є простим кільцем Артіна.

• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.