Псевдообернена матриця

Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі.

Матриця, псевдообернена до матриці $\ A$ позначається як $\ A^{+}$ .

Найвідомішим є псевдообернення Мура-Пенроуза, яке було незалежно описано Е. Х. Муром (Moore) в 1920 і Роджером Пенроузом в 1955.

Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив Фредгольм.

Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом найменших квадратів) розв'язку СЛАР.

Визначення

Означення Мура

$\ A^{+}$ називається псевдооберненою матрицею до матриці $\ A$ , якщо вона задовольняє такі умови:

$AA^{+}A=A$ ( $AA^{+}$ чи $A^{+}A$ не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці);
$A^{+}AA^{+}=A^{+};$
$(AA^{+})^{*}=AA^{+}$ (це означає, що $AA^{+}$ — ермітова матриця);
$(A^{+}A)^{*}=A^{+}A$ ( $A^{+}A$ — також ермітова матриця);

де $A^{*}$ — ермітово-спряжена матриця до матриці $A$ .

Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід

A^{+}=\lim _{\delta \to 0}(A^{*}A+\delta I)^{-1}A^{*}=\lim _{\delta \to 0}A^{*}(AA^{*}+\delta I)^{-1}

Ці границі існують, навіть якщо $(AA^{*})^{-1}$ і $(A^{*}A)^{-1}$ не комутують.

Властивості

Псевдообернена матриця завжди існує і вона єдина.
Псевдообернення нульової матриці дорівнює її транспонуванню.
Псевдообернення є оборотним до самого себе:

(A^{+})^{+}=A

.

Псевдообернення комутує з транспонуванням, спряженням і ермітовим спряженням:

(A^{T})^{+}=(A^{+})^{T},\qquad ({\overline {A}})^{+}={\overline {A^{+}}},\qquad (A^{*})^{+}=(A^{+})^{*}.

Ранг матриці дорівнює рангу її псевдооберненої:

rank\ A^{+}=rank\ A

Псевдообернення добутку матриці $A$ на скаляр $\alpha$ дорівнює добутку матриці $A^{+}$ на обернене число $\alpha ^{-1}$ :

(\alpha A)^{+}=\alpha ^{-1}\;A^{+},\quad \forall \alpha \neq 0

.

Якщо вже відома матриця $(A^{*}A)^{+}$ чи матриця $(AA^{*})^{+}$ , то їх можна використати для обчислення $A^{+}$ :

A^{+}=(A^{*}A)^{+}\;A^{*}

A^{+}=A^{*}\;(AA^{*})^{+}

.

Матриці $\ A^{+}A,\;AA^{+}$ — є ортогонально-проекційними матрицями.
Якщо матриця $\ A_{i}$ утворена з матриці $\ A$ за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію,

то

A_{i}^{+}

буде утворюватись з

\ A^{+}

додаванням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію.

Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим $a_{i}\neq {\vec {0}}$ , то існує формула Гревіля для вираження $A_{i}^{+}$ через $A,\;A^{+},\;a_{i}.$

Часткові випадки

Ортонормовані стовпці чи рядки

Якщо в матриці $A$ ортонормовані стовпці ( $A^{*}A=I$ ), або рядки ( $AA^{*}=I$ ), то:

A^{+}=A^{*}

.

Повний ранг

Якщо стовпці матриці $A$ лінійно незалежні, тоді матриця $(A^{*}A)$ має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:

A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}

Отже $A^{+}A=I$ , звідки слідує, що $A^{+}$ — ліва обернена матриця для A.

Якщо рядки матриці $A$ лінійно незалежні, тоді матриця $(AA^{*})$ має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:

A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{-1}

Отже $AA^{+}=I$ , звідки слідує, що $A^{+}$ — права обернена матриця для A.

Якщо і стовпці і рядки лінійно незалежні (що вірно для квадратних невироджених матриць), тоді:

A^{+}=A^{-1}.

Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка $\delta I\!$ з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.

Псевдообернення добутку

Якщо матриці $A$ і $B$ такі, що добуток $AB$ визначений, а також:

або A має ортонормовані стовпці ( $A^{+}=A^{*}$ ),
або B має ортонормовані рядки ( $B^{+}=B^{*}$ ),
або стовпці $A$ лінійно незалежні( $A^{+}A=I$ ) і рядки $B$ лінійно незалежні( $BB^{+}=I$ ).

Тоді:

\ (AB)^{+}=B^{+}A^{+}

.

Доводиться прямою підстановкою в визначення.

Скаляри і вектори

Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:

Псевдообернення скаляра $x$ є скаляр

x^{+}=\left\{{\begin{matrix}0,&x=0;\\x^{-1},&x\neq 0.\end{matrix}}\right.

Псевдообернення вектора $x$ є вектор

x^{+}=\left\{{\begin{matrix}0^{T},&x=0;\\{x^{*} \over x^{*}x},&x\neq 0.\end{matrix}}\right.

Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.

Обчислення

За допомогою A=BC розкладу

Нехай r — ранг матриці A розміру $m\times n$ . Тоді A може бути представлена як $A=BC$ , де B — матриця розміру $m\times r$ , C — матриця розміру $r\times n$ . Тоді

$A^{+}=C^{*}(CC^{*})^{-1}(B^{*}B)^{-1}B^{*}.$

чи

$A^{+}=C^{*}(B^{*}AC^{*})^{-1}B^{*}$

де

(CC^{*})^{-1}(B^{*}B)^{-1}=(B^{*}BCC^{*})^{-1}=(B^{*}AC^{*})^{-1}

— матриця меншого розміру

r\times r

.

За допомогою QR розкладу

Матрицю A представимо у вигляді $A=QR$ , де Q — унітарна матриця, $Q^{*}Q=QQ^{*}=I$ , і R — верхня трикутна матриця. Тоді

A^{*}A=(QR)^{*}(QR)=R^{*}Q^{*}QR=R^{*}R

,

A^{+}=(R^{*}R)^{+}A^{*}

…

За допомогою SVD розкладу

Якщо $A=U\Sigma V^{*}$ — сингулярне представлення матриці A, тоді

A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*}.

Для діагональної матриці, такої як $\Sigma$ , псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень діагональних елементів на обернені.

За допомогою мінорів

Нехай k — ранг матриці A розміру $m\times n$ .

Позначимо через $A_{k}\!$ матрицю складену з k лінійно незалежних стовпців матриці A,
через $A_{\overline {k}}$ позначимо матрицю з k лінійно незалежних рядків матриці A,
через $A_{kk\!}$ матрицю з елементів на перетині $A_{k}\!$ з $A_{\overline {k}}$ .

Тоді

A^{+}=A_{\overline {k}}^{*}(A_{\overline {k}}A_{\overline {k}}^{*})^{-1}\cdot A_{kk}\cdot (A_{k}^{*}A_{k})^{-1}A_{k}^{*}

Застосування до СЛАР

Система рівнянь $\ Ax=b$ може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки — такі $\ x$ при яких мінімізується $\|Ax-b\|^{2}.$ Це розв'язок методом найменших квадратів.

Загальний розв'язок системи $\ Ax=b$ є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи $\ Ax=0.$

За визначенням, загальний розв'язок системи $Ax=0\!$ — це ядро лінійного оператора ${A}\!$ :

\ker {A}=Z(A)y\!

де:

Z(A)=I-A^{+}A\!

(проектор на

\ker {A}\!

);

y\!

— довільний вектор тієї ж розмірності що і

x.\!

Частковим розв'язком неоднорідної системи є $\ x=A^{+}b,$ він ортогональний до $\ker {A}\!$ і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.

Загальний розв'язок

$\ Ax=b$	єдиний розв'язок $\det {A^{*}A}\neq 0\!$	множина розв'язків $\det {A^{*}A}=0\!$
точні розв'язки є $b^{*}Z(A)b=0\!$	$x=A^{+}b\!$	$\Omega _{x}=A^{+}b+\ker {A}\!$
тільки приблизні розв'язки $b^{*}Z(A)b\neq 0\!$	$x=A^{+}b\!$	$\Omega _{x}=A^{+}b+\ker {A}\!$

Відстань від довільної точки $\ y$ до множини розв'язків $\ \Omega _{x}$ рівна:

\|P(A)(y-A^{+}b)\|=\|P(A)y-A^{+}b\|=\|A^{+}(Ay-b)\|,

де:

P(A)=I-Z(A)\!

(проектор ортогональний до

\ \ker {A}

).

Джерела

Гантмахер Ф. Р. (1967). III. Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с.
Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.