Псевдообернена матриця

Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі.

Матриця, псевдообернена до матриці позначається як .

Найвідомішим є псевдообернення Мура-Пенроуза, яке було незалежно описано Е. Х. Муром (Moore) в 1920 і Роджером Пенроузом в 1955.

Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив Фредгольм.

Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом найменших квадратів) розв'язку СЛАР.

Визначення

Означення Мура

називається псевдооберненою матрицею до матриці , якщо вона задовольняє такі умови:

  1.              ( чи не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці);
  2.       (це означає, що  ермітова матриця);
  3.       ( — також ермітова матриця);

де  ермітово-спряжена матриця до матриці .


Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід

Ці границі існують, навіть якщо і не комутують.

Властивості

.
  • Псевдообернення добутку матриці на скаляр дорівнює добутку матриці на обернене число :
.
  • Якщо вже відома матриця чи матриця , то їх можна використати для обчислення :
.
  • Матриці  — є ортогонально-проекційними матрицями.
  • Якщо матриця утворена з матриці за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію,
то буде утворюватись з додаванням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію.
  • Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим , то існує формула Гревіля для вираження через

Часткові випадки

Ортонормовані стовпці чи рядки

  • Якщо в матриці ортонормовані стовпці (), або рядки (), то:
.

Повний ранг

  • Якщо стовпці матриці лінійно незалежні, тоді матриця має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:

Отже , звідки слідує, що  — ліва обернена матриця для A.

  • Якщо рядки матриці лінійно незалежні, тоді матриця має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:

Отже , звідки слідує, що  — права обернена матриця для A.

  • Якщо і стовпці і рядки лінійно незалежні (що вірно для квадратних невироджених матриць), тоді:

Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.

Псевдообернення добутку

Якщо матриці і такі, що добуток визначений, а також:

  • або A має ортонормовані стовпці (),
  • або B має ортонормовані рядки (),
  • або стовпці лінійно незалежні() і рядки лінійно незалежні().

Тоді:

.

Доводиться прямою підстановкою в визначення.

Скаляри і вектори

Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:

  • Псевдообернення скаляра є скаляр
  • Псевдообернення вектора є вектор

Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.

Обчислення

За допомогою A=BC розкладу

Нехай r ранг матриці A розміру . Тоді A може бути представлена як , де B — матриця розміру , C — матриця розміру . Тоді

чи

де  — матриця меншого розміру .

За допомогою QR розкладу

Матрицю A представимо у вигляді , де Q унітарна матриця, , і R — верхня трикутна матриця. Тоді

,

За допомогою SVD розкладу

Якщо  сингулярне представлення матриці A, тоді

Для діагональної матриці, такої як , псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень діагональних елементів на обернені.

За допомогою мінорів

Нехай k ранг матриці A розміру .

Позначимо через матрицю складену з k лінійно незалежних стовпців матриці A,
через позначимо матрицю з k лінійно незалежних рядків матриці A,
через матрицю з елементів на перетині з .

Тоді

Застосування до СЛАР

  • Система рівнянь може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки — такі при яких мінімізується Це розв'язок методом найменших квадратів.
  • Загальний розв'язок системи є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи

де:

     (проектор на );
 — довільний вектор тієї ж розмірності що і
  • Частковим розв'язком неоднорідної системи є він ортогональний до і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.
  • Загальний розв'язок
єдиний розв'язок
множина розв'язків
точні розв'язки є
тільки приблизні розв'язки
  • Відстань від довільної точки до множини розв'язків рівна:

де:

     (проектор ортогональний до ).

Джерела

  • Гантмахер Ф. Р. (1967). III. Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с.
  • Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.