Пфаффіан

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.}$

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}$

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0\\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

Нехай ${\displaystyle A=\{a_{ij}\}}$ є кососиметричною матрицею порядку ${\displaystyle 2n\times 2n}$. Пфаффіаном матриці A називається многочлен від її елементів заданий як:

${\displaystyle \operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}}$

де S_2n позначає симетричну групу порядок якої є рівним (2n)!, а sgn(σ) є знаком перестановки σ.

Еквівалентно, якщо ${\displaystyle \Pi }$ позначає множину всіх розбиттів множини ${\displaystyle \{1,2,\dots ,2n\}}$ на невпорядковані пари (всього існує ${\displaystyle (2n-1)!!}$ таких розбиттів), то кожне ${\displaystyle \alpha \in \Pi }$ може бути записано як

${\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\},}$

де ${\displaystyle i_{k}<j_{k}}$ і ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}}$. Нехай

${\displaystyle \pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}}$

позначає відповідну перестановку, а ${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\alpha )}$ — знак перестановки ${\displaystyle \pi }$.

Для розбиття ${\displaystyle \alpha }$ визначимо

${\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.}$

Пфаффіан матриці A є рівним:

${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.}$

Пфаффіан кососиметричної матриці розміру ${\displaystyle n\times n}$ для непарного n за означенням дорівнює нулю.

Для ${\displaystyle 2n\times 2n}$ кососиметричної матриці ${\displaystyle A}$ і для довільної ${\displaystyle 2n\times 2n}$ матриці ${\displaystyle B}$:

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)}$

Позначимо ${\displaystyle {\bar {A}}=BAB^{T}.}$ За означенням добутку матриць ${\displaystyle {\bar {a}}_{ij}=(BAB^{T})_{ij}=\sum _{k,l=1}^{2n}b_{ik}b_{jl}a_{kl}.}$ Тому

${\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{T})={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}{\bar {a}}_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{k,l=1}^{2n}b_{\sigma (2i-1),k}b_{\sigma (2i),l}a_{kl}\right)}$

Нехай тепер ${\displaystyle \varphi }$ позначає довільне відображення із множини ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,2n\}}$ у себе (не обов'язково перестановку). Розписавши попередній вираз одержуємо, що

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{k,l=1}^{2n}b_{\sigma (2i-1),k}b_{\sigma (2i),l}a_{kl}\right)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\varphi }\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}b_{\sigma (2i-1),\varphi (2i-1)}b_{\sigma (2i),\varphi (2i)}a_{\varphi (2i-1),\varphi (2i)}.}$

Але для кожного конкретного відображення ${\displaystyle \varphi }$ вираз ${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}b_{\sigma (2i-1),\varphi (2i-1)}b_{\sigma (2i),\varphi (2i)}}$ є рівним ${\displaystyle \det B_{\varphi },}$ де ${\displaystyle B_{\varphi }}$ є матрицею розмірності ${\displaystyle 2n\times 2n}$ для якої i-ий стовпець є ${\displaystyle \varphi (i)}$-стовпцем матриці ${\displaystyle B.}$ Тому якщо ${\displaystyle \varphi }$ не є перестановкою, деякі стовпці є однаковими і відповідний визначник є рівним нулю. В іншому випадку ${\displaystyle \det B_{\varphi }=\operatorname {sgn}(\varphi )\det B.}$ Таким чином:

${\displaystyle {\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B)\cdot {\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\varphi \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\varphi )\prod _{i=1}^{n}a_{\varphi (2i-1),\varphi (2i)}=\det(B){\mbox{Pf}}(A).}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)}$

• ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)}$

• Для блок-діагональної матриці

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2}).}$

• Для довільної ${\displaystyle n\times n}$ матриці ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.}$

• Визначник
• Кососиметрична матриця

• Godsil, Chris D. (1993). Algebraic Combinatorics. New York: Chapman and Hall. ISBN 0-412-04131-6. MR 1220704.