Функція Гевісайда

Функцію Гевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:

${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}}$

де n  — ціле число.

Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Гевісайда:

${\displaystyle \delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1].}$

і виконується рівність:

${\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,}$

Для наближення функції Гевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:

${\displaystyle H(x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}}$,

Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}.}$

Існують і інші наближення, зокрема:

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\ }$

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx).\ }$

Функція Гевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:

${\displaystyle H(x)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}-{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau =\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau -\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau .}$

Серед найпоширеніших значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ або H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:

${\displaystyle H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}}$

Іноді також використовується загальний запис:

${\displaystyle H_{a}(x)={\begin{cases}0,&x<0\\a,&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}}$

Первісною функцією для функції Гевісайда є: ${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi =xH(x).}$ (ReLU) де за визначенням:

${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}}$

Похідною функції Гевісайда є дельта-функція Дірака: ${\displaystyle dH(x)/dx=\delta (x).}$

Ця функція використовувалася ще до появи її зручного позначення. Наприклад Гульєльмо Лібрі в 1830-х роках опублікував декілька робіт[1][2] присвячених функції ${\displaystyle 0^{0^{x}}}$. На його думку, ${\displaystyle 0^{x}}$ дорівнює 0, якщо ${\displaystyle x>0}$; 1, якщо ${\displaystyle x=0}$ (див. Нуль в нульовому степені); або ${\displaystyle \infty }$, якщо ${\displaystyle x<0}$. Таким чином Лібрі робить висновок, що ${\displaystyle 0^{0^{x}}}$ дорівнює 1, якщо ${\displaystyle x>0}$, і 0 в іншому випадку. Користуючись нотацією Айверсона це можна було б записати, як

${\displaystyle 0^{0^{x}}=[\,x>0\,].}$

Однак такої нотації в той час не було, і Лібрі вважав досягненням, що цю функцію можна виразити через стандартні математичні операції. Він використовував цю функцію, для вираження абсолютної величини (позначення ${\displaystyle |x|}$ тоді ще не було, воно було введене пізніше Вейєрштрассом) і індикатора таких умов як ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, і навіть «${\displaystyle x}$ є дільником ${\displaystyle y}$»[3].

• Дельта-функція Дірака