Функція Гевісайда

Функція Гевісайда, H,  — це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатних значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Гевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірності функція Гевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.

Функція Гевісайда з H(0) = ½

Функція Гевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати:

В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.

Дискретна форма

Функцію Гевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:

де n  ціле число.

Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Гевісайда:

і виконується рівність:

Аналітичні апроксимації

Для наближення функції Гевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:

,

Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:

Існують і інші наближення, зокрема:

Інтегральне представлення

Функція Гевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:

H(0)

Серед найпоширеніших значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ або H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:

Іноді також використовується загальний запис:

Первісна і похідна

Первісною функцією для функції Гевісайда є: (ReLU) де за визначенням:

Похідною функції Гевісайда є дельта-функція Дірака:

Історія

Ця функція використовувалася ще до появи її зручного позначення. Наприклад Гульєльмо Лібрі в 1830-х роках опублікував декілька робіт[1][2] присвячених функції . На його думку, дорівнює 0, якщо ; 1, якщо (див. Нуль в нульовому степені); або , якщо . Таким чином Лібрі робить висновок, що дорівнює 1, якщо , і 0 в іншому випадку. Користуючись нотацією Айверсона це можна було б записати, як

Однак такої нотації в той час не було, і Лібрі вважав досягненням, що цю функцію можна виразити через стандартні математичні операції. Він використовував цю функцію, для вираження абсолютної величини (позначення тоді ще не було, воно було введене пізніше Вейєрштрассом) і індикатора таких умов як , і навіть « є дільником »[3].

Див. також

Примітки

  1. Guillaume Libri. Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  2. Guillaume Libri. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316.
  3. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: math/9205211 [math.HO]).
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.