Піфагорові середні

Вони визначаються так:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}\right)\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}}$

Кожне значення ${\textstyle \operatorname {M} }$ має наступні властивості:

Збереження цінності

${\displaystyle \operatorname {M} (x,x,\,\ldots ,\,x)=x}$

Однорідна функція першої послідовності

${\displaystyle \operatorname {M} (bx_{1},\,\ldots ,\,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Інваріантність при обміні

${\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,\,x_{i},\,\ldots ,\,x_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{j},\,\ldots ,\,x_{i},\,\ldots )}$

для будь-якої ${\displaystyle i}$ та ${\displaystyle j}$.

Виведення середньої величини

${\displaystyle \min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Гармонійні і арифметичні середні є взаємними двійниками один одного для позитивних аргументів:

${\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}}$

в той час як середнє геометричне - це його власна взаємна подвійність:

${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}}$

Існує впорядкування цих середніх (якщо всі ${\displaystyle x_{i}}$ позитивні)

${\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }$

з рівноправністю, тільки якщо всі ${\displaystyle x_{i}}$ рівні.

Це узагальнення нерівності арифметичних і геометричних середніх і окремий випадок нерівності для середнього степеневого. Доказ випливає з арифметико-геометричної середньої нерівності, ${\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max }$ та взаємної подвійності (${\displaystyle \min }$ і ${\displaystyle \max }$ також взаємні подвійні).

Вивчення піфагорових середніх тісно пов'язане з вивченням мажоризації й шур-опуклої функції. Гармонійними і геометричними середніми є увігнуті симетричні функції їхніх аргументів.

• Cantrell, David W. Pythagorean Means(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (на англ.)
• Nice comparison of Pythagorean means with emphasis on the harmonic mean (на англ.)