Ранг (лінійна алгебра)

Ранг матриці — порядок найбільших відмінних від нуля мінорів цієї матриці (такі мінори називаються базисними).

Ранг системи векторів — найбільше число лінійно-незалежних векторів з цієї системи.

Зазвичай ранг матриці ${\displaystyle A}$ позначається ${\displaystyle \operatorname {rang} A}$ (${\displaystyle \operatorname {rg} A}$) чи ${\displaystyle \operatorname {rank} A}$.

• Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці (перестановці рядків або стовпців, множенні рядка або стовпця на відмінне від нуля число і при додаванні рядків або стовпців).

• Теорема про базисний мінор: Рядки ненульової матриці, на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

• Теорема про ранг матриці: Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцям збігається з рангом по рядкам.

• Теорема Кронекера-Капеллі: Система лінійних рівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, не змінюється при додаванні до неї стовпця вільних членів (розширена матриця). Цей розв'язок єдиний, якщо цей ранг матриці дорівнює кількості невідомих.

Ранг ${\displaystyle \ r}$ матриці розмірності ${\displaystyle \ m\times n}$ називають повним, якщо ${\displaystyle \ r=\min(m,n)}$.

Система векторів має повний ранг, якщо вектори лінійно незалежні.