Мінор матриці

Мінором -го порядку матриці називається визначник матриці, утвореної елементами на перетині стовпців та рядків.

Формальне означення

Нехай матриця розміру , в якій вибрано довільні

  • рядків з номерами та
  • стовпців з номерами

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку .

Визначник матриці, яка одержується з викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором -го порядку, розташованим в рядках з номерами та стовпцях з номерами .

Якщо є квадратною матрицею, визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці називається доповнювальним мінором до мінору

де та — номери не вибраних рядків і стовпців.

Пов'язані означення

  • Мінором елемента квадратної матриці порядку називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент
  • Нехай — деякий мінор порядку матриці . Мінор порядку матриці називається оточуючим для мінора , якщо його матриця містить в собі матрицю мінору . Таким чином, оточуючий мінор для мінора можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.
  • Базисним мінором ненульової матриці (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує. Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів. Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
  • Для -матриці мінори виду , де і називаються головними мінорами. Тобто для цих мінорів обираються однакові номери для рядків і стовпців. Головні мінори переважно розглядають для квадратних матриць.

Приклади

  • Розглянемо матрицю розміру :
— мінор 2-го порядку.
Загалом для цієї матриці є мінорів другого порядку.
  • Мінор квадратної матриці — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

Властивості

  • Для матриці розміру існує різних мінорів порядку , де .
де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати стовпців з , тобто біноміальному коефіцієнту .
Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.
  1. Рядки ненульової матриці на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними.
  2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
  • Нехай є матрицею розміру , є матрицею розміру і є їх добутком. Позначатимемо мінори відповідних матриць. Тоді для мінора де і є номерами рядків, а — номерами стовпців, якщо то В іншому випадку цей мінор одержується через мінори матриць і за допомогою формули:
    Дана формула є узагальненням формули Біне — Коші.
  • Із попереднього узагальнення формули Біне — Коші випливає, що сума головних мінорів однакового порядку матриць і є однаково.
  • Характеристичний многочлен квадратної матриці можна записати як , де позначає суму головних мінорів порядку матриці Як наслідок суми головних мінорів однакового порядку двох подібних матриць є рівними. Зокрема єдиним головним мінором максимального порядку є визначник, а сума головних мінорів порядку 1 називається слідом матриці.

Див. також

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.