Раціональний кубоїд

Раціональний кубоїд[1] (або цілочисельна цеглина, або ідеальний кубоїд) прямокутний паралелепіпед, у якого всі сім основних величин (три ребра, три лицьових діагоналі і просторова діагональ) є цілими числами. Інакше кажучи, раціональний кубоїд — цілочисельний розв'язок системи діофантових рівнянь.

Раціональний кубоїд зі сторонами a, b, c стикаються з діагоналями d, e, f

Досі невідомо, чи існує такий паралелепіпед. Комп'ютерний перебір показав, що якщо ідеальний кубоїд існує:

  • найменше ребро має бути більшим за 5 × 1011.[2]
  • непарне ребро має бути більшим за 2.5 × 1013.[2]
  • просторова діагональ має бути більшою за 9 × 1015.[3]

Втім, знайдено безліч «майже цілочисельних» паралелепіпедів, у яких цілочисельними є всі величини, крім однієї:

  • Edge кубоїд — кубоїд, у якого одне з ребер є нецілим числом. Найменший: із ребрами (520, 576, 618849), лицьовими діагоналями (776, 943, 975), просторовою діагоналлю 1105;
  • Face кубоїд — кубоїд, у якого одна з лицьових діагоналей є нецілим числом. Найменший: із ребрами (104, 153, 672), лицьовими діагоналями (185, 680, 474993), просторовою діагоналлю 697;
  • Body кубоїд (паралелепіпед Ейлера, див. нижче) — кубоїд, у якого просторова діагональ є нецілим числом. Найменший: із ребрами (44, 117, 240), лицьовими діагоналями (125, 244, 267), просторовою діагоналлю 73225;
  • Косокутні паралелепіпеди, у яких всі сім величин цілі. При цьому досить одного непрямого кута.

Також досі невідомо, чи існує раціональний прямокутний паралелепіпед у комплексних числах (Perfect Complex кубоїд). Втім, знайдено безліч «майже цілочисельних» паралелепіпедів у комплексних числах, у яких цілочисельними є всі величини, крім однієї:

  • Imaginary кубоїд — кубоїд, у якого одне з ребер є комплексним числом. Найменший: із ребрами (3344i, 60, 63), лицьовими діагоналями (16, 25, 87), просторовою діагоналлю 65;
  • Twilight кубоїд — кубоїд, у якого окрім ребра(ер), одна із лицьових діагоналей є комплексним числом. Найменший: із ребрами (60i, 3344, 65), лицьовими діагоналями (16i, 25, 87), просторовою діагоналлю 63;
  • Midnight кубоїд — кубоїд, у якого окрім ребра(ер), лицевої(их) діагоналі(ей), ще й просторова діагональ є комплексним числом. Найменший: із ребрами (60i, 63i, 3344i), лицьовими діагоналями (16i, 25i, 87i), просторова діагональ 65i;

У 2005 році тбіліський студент Лаша Маргішвілі запропонував доведення, що цілочисельний кубоід не існує — однак на 2009 рік робота так і не пройшла перевірку незалежними вченими.[4][5]

У вересні 2017 року проєкт розподілених обчислень yoyo@home (http://www.rechenkraft.net/yoyo/) розпочав підпроєкт Perfect Cuboid, що займається пошуком кубоїдів у натуральних числах: Perfect, Edge, Face (повністю), а також деяких видів кубоїдів у комплексних числах (Perfect Complex, Imaginary та Twilight). Станом на жовтень 2018 року підпроєкт стверджує, що якщо ідеальний кубоїд існує, його просторова діагональ має бути більша за 253 ≈ 9 × 1015.[3]

Паралелепіпед Ейлера

Прямокутний паралелепіпед, у якого цілочисельні ребра і лицьові діагоналі, називається ейлеровим. Найменший з паралелепіпедів Ейлера — з ребрами (44, 117, 240) та лицьовими діагоналями (125, 244, 267).

Деякі інші маленькі паралелепіпеди Ейлера в форматі: ребра (a, b, c) — лицьові діагоналі (d, e, f):

(85,132,720) — (157,725,732)
(140,480,693) — (500,707,843)
(160,231,792) — (281,808,825)
(187,1020,1584) — (1037,1595,1884)
(195,748,6336) — (773,6339,6380)
(240,252,275) — (348,365,373)
(429,880,2340) — (979,2379,2500)
(495,4888,8160) — (4913,8175,9512)
(528,5796,6325) — (5820,6347,8579)

Ейлер описав два сімейства таких паралелепіпедів (звідси назва). Втім, повного опису всіх паралелепіпедів Ейлера також немає.

Відомі такі вимоги до ейлерового паралелепіпеда (а значить, і до цілочисельної цеглини) [6]:

  • Одне ребро ділиться на 4, друге ділиться на 16, третє непарне (якщо, звичайно, він примітивний — тобто, НСД (a, b, c) = 1).
  • Одне ребро ділиться на 3 і ще одне — на 9.
  • Одне ребро ділиться на 5.
  • Одне ребро ділиться на 11.
  • Одне ребро ділиться на 19.
  • Одне ребро або просторова діагональ діляться на 13.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 17.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 29.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 37.

Додатково:

  • Просторова діагональ примітивного ідеального кубоїда має бути добутком виключно простих n виду n ≡ 1 (mod 4)

Прямокутний паралелепіпед у комплексних числах

Відомі такі властивості прямокутних паралелепіпедів у комплексних числах:

  • Існування будь-якого Face кубоїда тягне за собою існування 2-х різних Imaginary кубоїдів. Наприклад:

Face кубоїд із ребрами (104, 153, 672), лицьовими діагоналями (185, 680, 474993), просторова діагональ 697 тягне за собою:

  1. Imaginary кубоїд із ребрами (104i, 185, 680), лицьовими діагоналями (153, 672, 496625), просторовою діагоналлю 697;
  2. Imaginary кубоїд із ребрами (153i, 185, 672), лицьовими діагоналями (104, 428175, 697), просторовою діагоналлю 680.
  • Існування будь-якого Edge, Face, Body або Imaginary кубоїда тягне за собою існування 3-х різних Twilight кубоїда. Наприклад:

Face кубоїд із ребрами (104, 153, 672), лицьовими діагоналями (185, 680, 474993), просторовою діагоналлю 697 тягне за собою:

  1. Twilight кубоїд із ребрами (153i, 104i, 697), лицьовими діагоналями (185i, 680, 474993), просторовою діагоналлю 672;
  2. Twilight кубоїд із ребрами (672і, 104і, 697), лицьовими діагоналями (680i, 185, 474993), просторовою діагоналлю 153;
  3. Twilight кубоїд із ребрами (672і, 153і, 697), лицьовими діагоналями (474993i, 153, 672), просторовою діагоналлю 104.
  • Існування будь-якого Edge, Face, Body, Imaginary або Twilight кубоїда тягне за собою існування Midnight кубоїда, що утворюється шляхом добутку усіх його величин на уявну одиницю .
  • Існування будь-якого Раціонального кубоїда у натуральних числах тягне за собою існування ще 7 різних Раціональних кубоїдів у комплексних числах (3 Perfect Complex та 4 Perfect Midnight кубоїдів):

Припустимо, що існує Ідеальний кубоїд із ребрами (A, B, С), лицьовими діагоналями (D, E, F) та просторовою діагоналлю G, тоді мають місце також:

  1. Perfect Complex із ребрами (Bi, Ci, G), лицьовими діагоналями (Fi, E, D) та просторовою діагоналлю A;
  2. Perfect Complex із ребрами (Ai, Ci, G), лицьовими діагоналями (Ei, F, D) та просторовою діагоналлю B;
  3. Perfect Complex із ребрами (Bi, Ai, G), лицьовими діагоналями (Di, E, F) та просторовою діагоналлю C;
  4. Perfect Midnight із ребрами (Ai, Bi, Ci), лицьовими діагоналями (Di, Ei, Fi) та просторовою діагоналлю Gi;
  5. Perfect Midnight із ребрами (B, C, Gi), лицьовими діагоналями (F, Ei, Di) та просторовою діагоналлю Ai;
  6. Perfect Midnight із ребрами (A, C, Gi), лицьовими діагоналями (E, Fi, Di) та просторовою діагоналлю Bi;
  7. Perfect Midnight із ребрами (B, A, Gi), лицьовими діагоналями (D, Ei, Fi) та просторовою діагоналлю Ci;

Див. також

Примітки

  1. Perfect Cuboid на сайті Wolfram MathWorld
  2. R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf
  3. Yoyo@Home, Perfect Cuboid sub-project, http://www.rechenkraft.net/yoyo/
  4. Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2
  5. Mu Alpha Theta. Архів оригіналу за 26 листопада 2006. Процитовано 26 листопада 2006.
  6. Primitive Euler Bricks
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.