Уявна одиниця

Уявна одиниця  — число, що при піднесенні до квадрата дає від'ємну одиницю:

i на комплексній або декартовій площині. Дійсні числа знаходяться на горизонтальній осі, а уявні числа на вертикальній осі.

Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.

Уявна одиниця є одним з двох розв'язків квадратного рівняння x2 + 1 = 0. Хоча не існує такого дійсного числа що мало б таку властивість, i використовують для розширення дійсних чисел до множини, що називається комплексними числами, і використовувати додавання і множення. Прикладом використання i для утворення комплексного числа є наступний запис: 2 + 3i.

Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є , то іншим розв'язком буде , бо справджується наступна рівність:

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, яке саме з двох розв'язків рівняння позначатиметься , а яке .

Степені уявної одиниці

Степені  повторюються в циклі:

Що може бути записано для будь-якого ступеня у вигляді:

де n — будь-яке ціле число.

Звідси: де mod 4 — це залишок від ділення на 4.

Число є дійсним:

[1]

Факторіал

Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:

Також

[2]

Корені з уявної одиниці

В полі комплексних чисел корінь n-го ступеня має n рішень. На комплексній площині корені уявної одиниці знаходяться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.

Це випливає з формули Муавра й того, як уявна одиниця записується у тригонометричному вигляді:

Зокрема, та

Також корені уявної одиниці можуть бути представлені за допомогою експоненти:

Див. також

Примітки

Література

  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
  • Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 736 с.(рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.