Релятивістське уповільнення часу

У межах спеціальної теорії відносності уповільнення часу є наслідком принципу рівноправності інерціальних систем відліку та перетворень Лоренца, що слідують із нього.

Можна розглянути дві події, просторово-часовий інтервал між якими є часоподібним. Відповідно, часові інтервали ${\displaystyle \ \Delta t}$ та ${\displaystyle \ \Delta t'}$ між подіями, що розглядаються відносно нерухомої інерціальної системи відліку A, та інерціальної системи відліку A', що рухається, будуть різними. Можна прийняти, що відносно системи відліку A' простороподібний інтервал дорівнює нулю,

${\displaystyle \ \Delta x^{\prime },\Delta y^{\prime },\Delta z^{\prime }=0\qquad (1)}$,

тобто, координати точки події в цій системі відліку не змінюються.

Якщо розглянути зв'язок часових інтервалів ${\displaystyle \ \Delta t}$ та ${\displaystyle \ \Delta t'}$ у рамках перетворення Лоренца часової компоненти лінійного елементу інтервала ${\displaystyle \ \Delta s}$ при переході від інерціальної системи відліку А' до інерціальної системи відліку А,

${\displaystyle \ \Delta t={\frac {\Delta t'+{\frac {\Delta x'v}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

та врахувати, відповідно до ${\displaystyle \ (1)}$, що ${\displaystyle \ \Delta x'=0}$, можна отримати кількісне співвідношення між :${\displaystyle \ \Delta t}$ та ${\displaystyle \ \Delta t'}$:

${\displaystyle \ \Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (2)}$.

При цьому

${\displaystyle \ \Delta x={\frac {v\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

З ${\displaystyle \ (2)}$ видно, що найкоротший часовий інтервал між двома подіями буде визначатись тоді, коли відносно інерціальної системи відліку, де знаходиться годинник, виконується умова ${\displaystyle \ (1)}$.

Якщо тепер розглянути об'єкт, що рухається відносно інерціальної системи відліку А по криволінійній траєкторії зі змінною у часі швидкістю ${\displaystyle \ v}$, і розбити його траєкторію на множину безкінечно малих інтервалів, на проходження яких відносно нерухомої інерціальної системи відліку потрібен час ${\displaystyle \ dt}$, то, відновідно годиннику у супутній локально-інерціальній інерціальної системи відліку, на проходження того ж інтервалу, згідно з ${\displaystyle \ (2)}$, буде потрібен час:

${\displaystyle \ dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\Rightarrow dt={\frac {dt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.\qquad (3)}$.

Тоді сумарний інтервал часу, що вимірюється відносно інерціальної системи відліку А, не залежить від прискорення й буде визначатися інтегралом виразу (3):

${\displaystyle \ t_{2}-t_{1}=\int \limits _{0}^{t}{\frac {dt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (4)}$.

З ${\displaystyle \ (4)}$ видно, що часовий інтервал не залежить від прискорення.

У основі загальної теорії відносності лежить метричний тензор ${\displaystyle \ g_{ik}(x)}$, де ${\displaystyle \ i,k=0,1,2,3}$, який при зміні координат змінюється таким чином, що величина просторово-часового інтервалу між двома подіями з координатами ${\displaystyle \ x^{i}}$ та ${\displaystyle \ x^{i}+dx^{i}}$ залишається незмінною:

${\displaystyle \ ds^{2}=g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k}={\text{inv}}}$.

Якщо прийняти, що

${\displaystyle \ dx^{1}=dx^{2}=dx^{3}}$,

тобто — годинник нерухомий, можна отримати співвідношення між інтервалом світового,

${\displaystyle \ d\tau ={\frac {ds}{c}}}$,

та власного,

${\displaystyle \ dt={\frac {dx^{0}}{c}}\qquad (5)}$,

часу. Для цього треба врахувати, що інтервал ${\displaystyle \ ds^{2}}$ світової лінії нерухомого годинника у гравітаційному потенціалі дорівнює

${\displaystyle \ ds^{2}=-c^{2}{d\tau }^{2}=-g_{00}{dx^{0}}^{2}\qquad (6)}$.

Тоді, з урахуванням ${\displaystyle \ (5)}$, ${\displaystyle \ (6)}$ прийме вигляд:

${\displaystyle \ ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-c^{2}g_{00}{dt}^{2}}$.

Звідси,

${\displaystyle \ d\tau ={\sqrt {g_{00}}}dt}$,

де ${\displaystyle \ g_{00}=-(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}})}$ — функція ${\displaystyle \ x}$.

Нехай об'єкт нерухомий у деякий момент часу. Тоді інтервал між двома подіями, пов'язаними з об'єктом, буде мати вигляд:

${\displaystyle \ ds^{2}=-c^{2}dt^{2}\qquad (7)}$.

З іншого боку, ${\displaystyle \ ds^{2}}$ також дорівнює

${\displaystyle \ ds^{2}=d\sigma ^{2}-(c^{*}d\tau \gamma _{\mu }-dx^{\mu })^{2}\qquad (8)}$,

де ${\displaystyle \ d\sigma ^{2}}$ — квадратична форма диференціала ${\displaystyle \ dx^{\mu }}$, ${\displaystyle \ \gamma _{\mu }}$ — векторний гравітаційний потенціал, ${\displaystyle \ c^{*}=c{\sqrt {-g_{00}}}}$ — середня швидкість світла, ортогональна вектору ${\displaystyle \ \gamma _{\mu }}$.

Прирівнявши ${\displaystyle \ (8)}$ до виразу ${\displaystyle \ (7)}$, можна отримати:

${\displaystyle \ ds^{2}=-c^{2}dt^{2}=d\sigma ^{2}-(c^{*}d\tau -\gamma _{\mu }dx^{\mu })^{2}\Longleftrightarrow cdt={\sqrt {(c^{*}d\tau -\gamma _{\mu }dx^{\mu })^{2}-d\sigma ^{2}}}\qquad (9)}$.

Провівши з ${\displaystyle \ (9)}$ перетворення

${\displaystyle \ dt={\sqrt {{\frac {1}{c^{2}}}(d\tau ^{2}((c^{*}-{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }})^{2})-d\sigma ^{2})}}=d\tau {\sqrt {({\frac {c{\sqrt {-g_{00}}}}{c}}-\gamma _{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{cd\tau }})^{2}-({\frac {d\sigma }{cd\tau }})^{2}}}=d\tau {\sqrt {({\sqrt {-g_{00}}}-\gamma _{\mu }{\frac {v_{\mu }}{c}})^{2}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\qquad (10)}$.

Якщо інерційна система відліку часоортогональна, то ${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=0}$ і вираз ${\displaystyle \ (10)}$ набуде вигляду:

${\displaystyle \ dt=d\tau {\sqrt {-g_{00}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=d\tau {\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$,

де ${\displaystyle \ \varphi }$ — скалярний гравітаційний потенціал.

• Гравітаційне червоне зміщення
• Гравітаційне уповільнення часу
• Загальна теорія відносності
• Парадокс близнят
• Експеримент Хафеле — Кітінга

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4