Експеримент Хафеле — Кітінга

Один із комплектів цезієвого годинника HP 5061A Cesium Beam Frequency Standard, використаного в експерименті

У жовтні 1971 року Дж. Хафеле (J. C. Hafele) і Річард Кітінг (Richard E. Keating) із чотирма комплектами цезієвих атомних годинників двічі облетіли навколо світу: спочатку — у східному напрямку, потім — у західному. Після чого порівняли час на годинниках, що «подорожували», із часом такого самого годинника, що залишався у Військово-морській обсерваторії США (ВМО США). Перельоти виконували звичайними авіалайнерами регулярними авіарейсами.

Переліт у східному напрямку почато о 19:30 UTC 4 жовтня 1971 року і закінчено о 12:55 UTC 7 жовтня 1971 року (тривалість 65,42 год); маршрут ВМО США — Вашингтон — Лондон — Франкфурт — Стамбул — Бейрут — Тегеран — Нью-Делі — Бангкок — Гонконг — Токіо — Гонолулу — Лос-Анджелес — Даллас — Вашингтон — ВМО США. Середня швидкість відносно поверхні землі становила 243 м/с, середня висота над рівнем моря 8,90 км, середня широта за маршрутом 34° пн. ш.[1]

У західному напрямку переліт почато о 19:40 UTC 13 жовтня 1971 року, закінчено через 80,33 год о 04:00 UTC 17 жовтня 1971 року. Маршрут: ВМО США — Вашингтон — Лос-Анджелес — Гонолулу — Гуам — Окінава — Тайбей — Гонконг — Бангкок — Бомбей — Тель-Авів — Афіни — Рим — Париж — Шаннон — Бостон — Вашингтон — ВМО США. У цьому напрямку середня швидкість становила 218 м/с, середня висота 9,36 км, середня широта по маршруту 31° пн. ш.[1] Навігаційну інформацію про параметри кожного перельоту надавали пілоти.

Під час перельотів виконувався моніторинг умов навколишнього середовища (температури, вологості й тиску повітря), а також вимірювалося магнітне поле. Надалі було продемонстровано, що зміна цих умов у лабораторії не впливає в межах похибок на хід застосованих в експерименті годинників[1]. Було також перевірено, чи впливає на хід годинника відключення однієї з 4 використовуваних батарей (така втрата однієї з батарей сталася під час західного перельоту).

Для комплекту годинника й батарей купували окремі квитки на два крісла (на ім'я Mr. Clock)[2]. Загальна ціна квитків для годинників і двох дослідників склала близько 7600 доларів, тому експеримент Хафеле — Кітінга виявився одним із найдешевших експериментів, виконаних для перевірки теорії відносності[3][4].

Згідно зі спеціальною теорією відносності, швидкість ходу годинника найбільша для того спостерігача, для якого він перебуває в стані спокою. У системі відліку, в якій годинник рухається, він йде повільніше, і цей ефект пропорційний квадрату швидкості. У системі відліку, нерухомій відносно центра Землі, годинник на борту літака, який рухається в напрямку обертання Землі (на схід), йде повільніше (швидкість літака додається до обертової швидкості поверхні Землі v_{годинника} = RΩ + v_літака)), ніж годинник, який залишається на поверхні (v_{годинника} = RΩ), а годинник на борту літака, який рухається проти обертання Землі (в західному напрямку), йде швидше (швидкість літака віднімається від обертової швидкості поверхні Землі v_{годинника} = RΩ − v_літака)[5][6].

Відповідно до загальної теорії відносності, має місце ще один ефект: зменшення гравітаційного потенціалу зі зростанням висоти прискорює хід годинника. Оскільки літаки в обох напрямках летіли приблизно на однаковій висоті (близько 9 км), цей ефект мало впливає на різницю ходу двох годинників, які «подорожували»; однак він викликає відхилення їх показників від показників годинника, який залишався на поверхні Землі.

Отримані результати опубліковано в журналі Science у 1972 році[5]:

Результати експерименту збігалися з передбаченнями теорії відносності, відзначено, що спостережувані додатні й від'ємні різниці ходу годинників з високою довірчою ймовірністю відрізняються від нуля.

Одне з примітних приблизних повторень оригінального експерименту відбулося в його 25-ту річницю, із використанням точніших атомних годинників, і результати перевірено з меншою похибкою[7]. Ці релятивістські ефекти враховують для годинників глобальних супутникових систем позиціювання — американської GPS, російської ГЛОНАСС і європейської системи Галілео[8].

Рівняння й ефекти, використані в описі експерименту: Повне відставання годинника:

${\displaystyle \tau =\Delta \tau _{v}+\Delta \tau _{g}+\Delta \tau _{s}.}$

Спецрелятивістський внесок (швидкість):

${\displaystyle \Delta \tau _{v}=-{\frac {1}{2c^{2}}}\sum _{i=1}^{k}v_{i}^{2}\Delta T_{i}.}$

Загальнорелятивістський внесок (гравітація):

${\displaystyle \Delta \tau _{g}={\frac {g}{c^{2}}}\sum _{i=1}^{k}(h_{i}-h_{0})\Delta T_{i}.}$

Ефект Саньяка:

${\displaystyle \Delta \tau _{s}=-{\frac {\Omega }{c^{2}}}\sum _{i=1}^{k}R_{i}^{2}\cos ^{2}\varphi _{i}\Delta \lambda _{i}.}$

Тут h — висота, v — швидкість відносно центра Землі, Ω — кутова швидкість Землі, а ${\displaystyle \Delta T_{i}}$ і ${\displaystyle \Delta \lambda _{i}}$ — тривалість i-ї ділянки польоту і зміна географічної довготи для неї; ${\displaystyle R_{i}}$ — відстань від центра Землі на цій ділянці, ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — географічна широта; g — прискорення вільного падіння, c — швидкість світла. Ефекти підсумовуються протягом усього польоту, оскільки параметри з часом змінюються.

• Парадокс близнят