Розклад Холецького
Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді де — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі.
Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний.
Для матриць з комплексними елементами: якщо — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад
Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького (1875-1918).
Алгоритм
Елементи матриці можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:
- , якщо .
Вираз під коренем завжди додатній, якщо — дійсна додатновизначена матриця.
Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:
- , якщо .
LDL-розклад
Пов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад:
де — одинична нижня трикутна матриця; — діагональна матриця.
- , якщо .
Застосування
Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь.
Виконавши розклад , розв'язок отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: та . Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU-розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.