Розріджена мережа
У науці про мережі розрі́джена мере́жа (англ. sparse network) має набагато менше з'єднань, ніж можливе максимальне число з'єднань у цій мережі (протилежністю є щі́льна мере́жа, англ. dense network). Вивчення розріджених мереж є відносно новою сферою, насамперед стимульованою вивченням реальних мереж, таких як соціальні та комп'ютерні мережі.[1]
Звісно, поняття набагато меншої кількості з'єднань є розмовним та неформальним. Хоча й можна винайти поріг для певної мережі, універсального порогу, що визначав би, що насправді означає набагато менше, не існує. В результаті, формального сенсу в розрідженості для будь-якої скінченної мережі не існує, незважаючи на поширену згоду, що більшість емпіричних мереж є справді розрідженими. Проте існує формальний сенс у розрідженості у випадку нескінченних мережних моделей, що визначається поведінкою кількості ребер (M) та/або середнього степеня (<k>), коли кількість вузлів (N) прямує до нескінченності.[2]
Визначення
Просту незважену мережу розміру називають розрідженою, якщо кількість з'єднань у ній є набагато меншою за максимально можливе число з'єднань :[1]
.
У будь-якій заданій (реальній) мережі кількість вузлів N та з'єднань M є лише просто двома числами, тож значення знаку набагато менше ( вище) є виключно розмовним та неформальним, як і такі заяви, що «багато реальних мереж є розрідженими».
Проте, якщо ми маємо справу з синтетичною послідовністю графів , або мережною моделлю, чітко визначеною для мереж будь-якого розміру N = 1,2, …, , то набуває звичного формального значення:
.
Іншими словами, мережну послідовність або модель називають щільною або розрідженою залежно від того, чи (очікуваний) середній ступінь в масштабується лінійно, чи сублінійно з N:[2][3]
є щільною (англ. dense), якщо ;
є розрідженою (англ. sparse), якщо .
Важливим підкласом розріджених мереж є мережі, середній степінь яких або є сталим, або збігається до сталого. Деякі автори називають розрідженими лише такі мережі, тоді як інші припасають для них особливі назви:[4]
є істинно розрідженою (англ. truly sparse) або надзвичайно розрідженою (англ. extremely sparse) або ультрарозрідженою (англ. ultrasparse), якщо .
Існують також альтернативні, більш строгі визначення розрідженості мережі, що вимагають збігання розподілу ступенів у до чітко визначеної границі при .[5] Відповідно до цього визначення, N-зірковий граф , наприклад, розрідженим не є.
Розподіл степенів вузлів
Розподіл степенів вузлів змінюється зі збільшенням зв'язності. Різні щільності ребер у складних мережах мають різний розподіл степенів вузлів, як підказує аналіз мережі Flickr.[6] Розріджено зв'язані мережі мають безмасштабний, степеневий закон розподілу. Зі збільшенням зв'язності мережі демонструють дедалі більше розходження зі степеневим законом. Одним з основних чинників, що впливають на зв'язність мережі, є схожість вузлів. Наприклад, у соціальних мережах люди, вірогідно, будуть з'єднаними між собою, якщо вони мають однакове соціальне походження, зацікавлення, смаки, переконання тощо. У контексті біологічних мереж білки або інші молекули є зв'язаними, якщо вони мають однакову або взаємодоповнювальну форму їхніх складних поверхонь.[6]
Загальна термінологія
Якщо вузли в мережах не є зваженими, то структурні складові мережі можливо показувати за допомогою матриці суміжності . Якщо більшість елементів у матриці дорівнює нулеві, таку матрицю називають розрідженою матрицею. І навпаки, якщо більшість елементів є ненульовими, то матриця є щільною. Розрідженість або щільність матриці визначається часткою нульового елемента до загальної кількості елементів у матриці. Так само в контексті теорії графів, якщо число ребер є близьким до свого максимуму, то граф буде відомим як щільний граф. Якщо число ребер є меншим за максимальне можливе число ребер, то графи цього типу називають розрідженими графами.[7]
Застосування
Розріджені мережі зустрічаються у соціальних, комп'ютерних та біологічних мережах, також їх застосування можливо знайти у транспорті, електромережах, мережах цитування тощо. Оскільки більшість реальних мереж є великими та розрідженими, для їх розуміння та аналізу було розроблено кілька моделей.[8] Ці мережі надихнули розріджений дизайн мереж на чипі у розробці багатопроцесорної вбудованої комп'ютерної техніки .
Розріджені мережі також здешевлюють обчислення, роблячи ефективним зберігання мережі як списку суміжності замість матриці суміжності. Наприклад, при використанні списку суміжності ітерування над сусідами вузла можливо досягати за Ο(M/N), тоді як з матрицею суміжності його досягають за Ο(N).[2]
Примітки
- Barabási, Albert-László (2015). Network Science. Cambridge University Press. Процитовано 25 травня 2015. (англ.)
- Newman, Mark. Networks 2nd Edition. Процитовано 14 лютого 2021. (англ.)
- Bollobás, Béla (1985). Random Graphs. Academic Press. (англ.)
- Janson, Svante (2018). On Edge Exchangeable Random Graphs. J Stat Phys 173 (3–4): 448–484. PMC 6405020. PMID 30930480. doi:10.1007/s10955-017-1832-9. (англ.)
- van der Hofstad, Remco (2017). Random Graphs and Complex Networks. Cambridge University Press. ISBN 9781316779422. doi:10.1017/9781316779422. (англ.)
- Scholz, Matthias (7 січня 2015). Node similarity as a basic principle behind connectivity in complex networks. Journal of Data Mining and Digital Humanities (77). Процитовано 25 травня 2015. (англ.)
- Nykamp, Duane Q. An introduction to networks. Math Insight. Процитовано 25 травня 2015. (англ.)
- Gribonval, Rémi. Sparse Models, Algorithms and Learning for Large-scale data. SMALL. Процитовано 25 травня 2015. (англ.)