Степеневий розподіл

Для степеневого закону характерна масштабна інваріантність. Якщо виконується ${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$, то масштабування аргументу ${\displaystyle x}$ на постійний коефіцієнт ${\displaystyle c}$ призведе до пропорційного масштабування самої функції. Тобто:

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

де ${\displaystyle \propto }$ означає пряму пропорційність. Іншими словами, Множення аргументу на сталу величину ${\displaystyle c}$ призводить просто до множення значень функції на сталу величину ${\displaystyle c^{-k}}$. Таким чином, всі степеневі закони з заданим показником ступеню еквівалентні з точністю до множення на константу, оскільки всі вони являють собою лише масштабування версії один одного. Це породжує лінійну залежність між логарифмами величин ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle x}$, і пряму лінію на графіку у подвійному логарифмічному масштабі (log–log), яку часто вважають характерною ознакою степеневого закону. В реальних даних ця ознака є необхідною, але не достатньою, щоб зробити висновок щодо наявності степеневого закону. Існує багато способів згенерувати кінцеві об'єми даних, що імітують відповідність степеневому закону, але відхиляються від нього в асимптотичній межі (наприклад, якщо процес генерації даних підпорядковується логнормальному розподілу). Перевірка моделей на відповідність степеневому закону є актуальною областю досліджень в статистиці, див. нижче.

Степеневий закон ${\displaystyle x^{-k}}$ має строго визначене середнє значення при ${\displaystyle x\in [1,\infty )}$, тільки якщо ${\displaystyle k>2}$, і має кінцеву дисперсію, тільки якщо ${\displaystyle k>3}$. Для більшості відомих степеневих законів в природі значення показника ступеню такі, що середнє значення є строго визначеним, а дисперсія ні, тому для них існує можливість виникнення подій типу «чорний лебідь».[10] Це можна показати на прикладі наступного уявного експерименту:[11] уявіть себе в кімнаті з друзями і оцініть середньомісячний прибуток у цій кімнаті. Тепер уявіть, що в цю кімнату увійшла сама заможна людина у світі з місячним прибутком близько 1 мільярда US$. Як зміниться значення середньомісячного доходу в кімнаті? Розподіл доходів підпорядковується степеневому закону, відомому як розподіл Парето (наприклад, капітали американців, розподіленні за степеневим законом з показником ступеню 2).

З одного боку, це не дозволяє коректно застосовувати традиційну статистику, засновану на дисперсії і середньоквадратичному відхиленні (наприклад, регресійний аналіз). З іншого, це дозволяє здійснювати ефективне за витратами втручання.[11] Наприклад, нехай шкідливі викиди автомобілів розподіленні по степеневому закону серед автомобілів (тобто більшість забруднень здійснюється дуже невеликим числом автомобілів). Тоді буде достатньо прибрати з доріг цю невелику кількість автомобілів, щоб суттєво знизити цю кількість викидів.[12]

Медіана існує: для степеневого закону x ^–k с показником ступеню ${\displaystyle k>1}$ вона приймає значення 2^{1/(k — 1)}x_min, де x_min — це мінімальне значення, для якого виконується степеневий закон.[13]

Еквівалентність степеневого розподілу з особливою масштабною експонентою може скоріше мати пояснення в теорії динамічних процесів, ніж виводитися з відношень степеневого розподілу. У фізиці, наприклад, фазовий перехід в термодинамічних системах асоціюється з появою степеневого розподілу деяких величин, експоненти відносяться до критичних індексів системи. Різні системи з однаковими критичними індексами — це ті, що демонструють ідентичну поведінку при наближенні до критичного значення — може буди продемонстрована за допомогою теорії ренормалізаційних груп, поділяти однакову фундаментальну динаміку. Наприклад, поведінка води та CO₂ в їх точках кипіння потрапляє в однакові класи універсальності, тому, що вони мають однакові критичні індекси.^{[джерело?][прояснити]} По факту, майже вся суть фазових переходів описана невеличкою множиною класів універсальності. Подібні спостереження були зроблені, хоча й не так всеосяжно, для різних самоорганізованих критичних систем, де критичні точки систем — це атрактор. Формально, цей динамічний обмін відноситься до універсальності, і системи з точно такими ж критичними індексами називаються тими, що належать класу універсальності.