Ряд Діріхле

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

Де ζ(s) — дзета-функція Рімана.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

де μ(n) — функція Мебіуса.

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

де L(χ,s) — L-функція Діріхле.

Нехай

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

Тоді можна довести

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re(s) > σ₀, тоді

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

збігається для Re(s) > σ₀. В даній формулі, ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$ позначає функцію фон Мангольдта.

Нехай маємо ряди

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

і

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

• Список об'єктів, названих на честь Діріхле

• Мандельбройт С. Ряды Дирихле, — М.: Мир, 1973
• Tom M. Apostol (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8