Ряд Діріхле
Рядом Діріхле називається ряд виду
де s і an — комплексні числа, n = 1, 2, 3, … .
Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число , що при він збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число , що при ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення (якщо і скінченні).
Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле. Ряд названий в честь Густава Діріхле.
Похідні
Нехай
Тоді можна довести
у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re(s) > σ0, тоді
збігається для Re(s) > σ0. В даній формулі, позначає функцію фон Мангольдта.
Добуток рядів
Нехай маємо ряди
і
Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:
Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то
Див. також
Література
- Мандельбройт С. Ряды Дирихле, — М.: Мир, 1973
- Tom M. Apostol (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8