Матриця Якобі

Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення $\mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ .

Визначення

Нехай задано відображення $\mathbf {u$ , що має в деякій точці x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J, складена з часткових похідних цих функцій в точці x, називається матрицею Якобі цієї системи функцій.

J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}

Зв'язані визначення

Якщо m = n, то визначник $|J|$ матриці Якобі називається визначником Якобі (якобіаном) системи функцій $u_{1},\ldots ,u_{n}$ .
Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг:
$\mathrm {rg} \,J=\min(m,n)$

Властивості

Якщо всі $\mathbf {u} _{i}$ неперервно діференцюються в околі $\mathbf {x} _{0}$ , то
$\mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|)$
Хай $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}$ — відображення, що диференціюються, $J_{\varphi }$ , $\ J_{\psi }$ — їхні матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності):
$J_{\psi \circ \varphi }=J_{\psi }J_{\varphi }$
За теоремою Сарда, для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега).

Приклади

Приклад 1

Розглянемо функцію $f : ℝ 2 \to ℝ 2,$ з $(x, y) \mapsto (f 1 (x, y), f 2 (x, y)),$ задану так

\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.

Тоді маємо, що

f_{1}(x,y)=x^{2}y

і

f_{2}(x,y)=5x+\sin y

і якобіан $f$ це

\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}},

а визначник якобіана це

\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.

Приклад 2

Якобіан функції $F : ℝ 3 \to ℝ 4$ з компонентами

{\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}

це

\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.

Цей приклад показує, що матриця Якобі не обов'язково квадратна.

Див. також

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.