Скручений вузол

В теорії вузлів скручений вузол[1] — це вузол, отриманий шляхом перекручування замкнутої петлі з подальшим зачепленням кінців (таким чином, скручений вузол — це будь-яке подвійне зачеплення Вайтгеда тривіального вузла). Скручені вузли є нескінченним сімейством вузлів і вважаються найпростішим типом вузлів після торичних вузлів.

Скручений вузол з шістьма півобертами.

Побудова

Скручений вузол отримують шляхом зачеплення двох кінців скрученої петлі. До зачеплення можна зробити будь-яку кількість півобертів, що дає нескінченне сімейство. На малюнках показано кілька перших скручених вузлів:

Властивості

Вузол вантажника на чотири півоберти утворюється шляхом (само-)зачеплення одного кінця петлі, скрученої на два оберти, з іншим кінцем петлі.

Всі скручені вузли мають число розв'язування 1, оскільки вузол можна розв'язати, роз'єднавши два кінці. Будь-який скручений вузол є також двомістковим[2]. З усіх скручених вузлів тільки тривіальний вузол і вузол вантажника є зрізаними[3]. Скручений вузол c півобертами має число перетинів . Всі скручені вузли є оборотними, але ахіральними скрученими вузлами є тільки тривіальний вузол і вісімка.

Інваріанти

Інваріанти скручених вузлів залежать від числа півобертів. Многочлен Александера скрученого вузла задається формулою

для парних n,
для непарних n, а многочлен Конвея дорівнює
для парних n,
для непарних n.

Якщо непарне, многочлен Джонса дорівнює

при парному ж

Примітки

  1. зустрічається також назва твіст вузол
  2. Rolfsen, 2003, с. 114.
  3. Weisstein, Eric W. Twist Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

  • Dale Rolfsen. Knots and links. — Providence, R. I. : AMS Chelsea Pub, 2003. — ISBN 0-8218-3436-3.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.