Многочлен Джонса

Для заданого орієнтованого зачеплення ${\displaystyle L}$ визначається допоміжний многочлен:

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$,

де ${\displaystyle w(L)}$ — число закрученості діаграми ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle \langle L\rangle }$ — дужка Кауфмана. Число закрученості визначається як різниця між числом додатних перехресть ${\displaystyle L_{+}}$ і числом від'ємних перехресть ${\displaystyle L_{-}}$ і не є інваріантом вузла: воно не зберігається під час перетворень Рейдемейстера I типу.

${\displaystyle X(L)}$ — інваріант вузла, оскільки він інваріантний відносно всіх трьох перетворень Рейдемейстера діаграми ${\displaystyle L}$. Інваріантність відносно перетворень II і III типів випливає з інваріантності дужки Кауфмана і числа закрученості відносно цих перетворень. Навпаки, для перетворення I типу дужка Кауфмана множиться на ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$, що точно компенсується зміною на +1 або -1 числа закрученості ${\displaystyle w(L)}$.

Многочлен Джонса визначається з ${\displaystyle X(L)}$ підстановкою:

${\displaystyle A=t^{-1/4}}$,

кінцевий вираз є многочленом Лорана від змінної ${\displaystyle t^{1/2}}$.

Оригінальне визначення Джонса використовує операторну алгебру і поняття сліду подання кіс, що виникло в статистичній механіці (модель Поттса).

Теорема Александера стверджує, що будь-яке зачеплення ${\displaystyle L}$ є замиканням коси з ${\displaystyle n}$ нитками, тому можна визначити подання ${\displaystyle \rho }$ групи кіс ${\displaystyle B_{n}}$ з ${\displaystyle n}$ нитками на алгебрі Темперлі — Ліба ${\displaystyle TL_{n}}$ з коефіцієнтами з ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ і ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$. Стандартна твірна коси ${\displaystyle \sigma _{i}}$ дорівнює ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$, де ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1}}$ — стандартні твірні алгебри Темперлі — Ліба. Для слова ${\displaystyle \sigma }$ коси ${\displaystyle L}$ обчислюється ${\displaystyle \sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )}$, де ${\displaystyle tr}$ — слід Маркова, в результаті отримуємо ${\displaystyle \langle L\rangle }$, де ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ — дужковий поліном.

Перевага цього підходу полягає в тому, що вибравши аналогічні подання в інших алгебрах, таких як подання ${\displaystyle R}$-матриць, можна прийти до узагальнень інваріантів Джонса (наприклад, таким є[1] поняття ${\displaystyle k}$-паралельного полінома Джонса).

Многочлен Джонса однозначно задається тим, що він дорівнює 1 на будь-якій діаграмі тривіального вузла, і таким скейн-співвідношенням:

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})}$,

де ${\displaystyle L_{+}}$, ${\displaystyle L_{-}}$, і ${\displaystyle L_{0}}$ — три орієнтованих діаграми зачеплення, що збігаються скрізь, крім малої ділянки, де їхня поведінка відповідно є додатним і від'ємним перетинами і гладким проходом без спільних точок:

Теорія Черна — Саймонса описує топологічний порядок у станах дробового квантового ефекту Холла. З точки зору математики теорія Черна — Саймонса цікава тим, що дозволяє обчислювати інваріанти вузлів, такі як многочлен Джонса.

2000 року Михайло Хованов побудував ланцюговий комплекс для вузлів і зачеплень і показав, що гомології цього комплексу є інваріантом вузлів (гомології Хованова). Ця теорія гомологій є категорифікацією многочлена Джонса, тобто многочлен Джонса є ейлеровою характеристикою для цієї гомології.

Многочлен Джонса має багато чудових властивостей[2][3].

Для зачеплень з непарним числом компонент (зокрема, для вузлів) усі степені змінної ${\displaystyle t}$ у многочлені Джонса цілі, а для зачеплень з парним числом компонент — напівцілі.

Многочлен Джонса зв'язної суми вузлів дорівнює добутку поліномів Джонса доданків, тобто:

${\displaystyle V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})}$.

Многочлен Джонса незв'язної суми вузлів дорівнює:

${\displaystyle V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})}$.

Многочлен Джонса об'єднання зачеплення ${\displaystyle L}$ і тривіального вузла дорівнює:

${\displaystyle V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)}$.

Для ${\displaystyle L^{*_{k}}}$ орієнтованого зачеплення, одержаного із заданого орієнтованого зачеплення ${\displaystyle L}$ заміною орієнтації деякої компоненти ${\displaystyle k}$ на протилежну, має місце:

${\displaystyle V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)}$,

де ${\displaystyle \lambda }$ — це коефіцієнт зачеплення компоненти ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle L-k}$.

Многочлен Джонса не змінюється за обернення вузла, тобто після заміни напрямку обходу на протилежний (зміні орієнтації).

Дзеркально-симетричний образ зачеплення має многочлен Джонса, отримуваний заміною ${\displaystyle t}$ на ${\displaystyle t^{-1}}$ (властивість легко перевірити з використанням визначення через дужку Кауфмана).

Якщо ${\displaystyle K}$ — вузол, то:

${\displaystyle V_{K}(e^{2\pi i/3})=1}$.

Значення многочлена Джонса для вузла ${\displaystyle L}$ з числом компонент зачеплення ${\displaystyle p}$ в точці 1:

${\displaystyle V_{L}(1)=(-2)^{p-1}}$.

Многочлен Джонса ${\displaystyle (m,n)}$-торичного вузла:

${\displaystyle V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^{n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}}$.

2003 року побудовано сімейство нетривіальних зачеплень із многочленом Джонса рівним многочлену Джонса тривіального зачеплення[4], при цьому невідомо, чи існує нетривіальний вузол, многочлен Джонса якого є таким самим, як у тривіального вузла. 2017 року побудовано сімейство нетривіальних вузлів ${\displaystyle K_{r}}$ з ${\displaystyle 20\cdot 2^{r-1}+1}$ перетинами, для яких многочлен Джонса ${\displaystyle V(K_{r})}$ порівнянний з одиницею за модулем ${\displaystyle 2^{r}}$[5].

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.