Спіраль Ферма
Спіраль Ферма (також відома як параболічна спіраль) — це крива, що визначається рівнянням
в полярних координатах. Загальніший вигляд рівняння: r 2 = a 2θ. Спіраль Ферма є одним з видів спіралі Архімеда.[1]
Втім відмінність від звичайної спіралі Архімеда полягає також у тому, що відстань між сусідніми витками у першій спіралі завжди однакова, а у спіралі Ферма ця закономірність не зберігається.
У Декартовій системі координат рівняння Спіралі Ферма можна записати так:
Ця формула може бути доведена завдяки зв'язку між полярною системою координат та декартовою:
; ; ; , а також враховуючи, що
Спіраль Ферма і квітка соняшнику
У квітці соняшнику група спіралей залягає числами Фібоначчі, оскільки дивергенція (кут послідовності в організації спіралей) прямує до золотого відношення. Форма спіралей залежить від росту послідовних елементів. В зрілій квітці (коли всі елементи мають однаковий розмір) спіралі насіння є спіралями Ферма. Це тому що спіралі Ферма перетинають рівня кільця в однакових положеннях. Повна модель була запропонована Фогелем в 1979.[2] Формула має такий вигляд:
де θ — це кут, r — радіус відстані від центру, n — індекс простої квітки і c — це параметр. Кут 137,508° це золотий кут, який є апроксимованим відношенням чисел Фібоначчі.[3]
Примітки
- http://mathworld.wolfram.com/FermatsSpiral.html
- Vogel, H (1979). A better way to construct the sunflower head. Mathematical Biosciences 44 (44): 179–189. doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4.
- Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag. с. 101–107. ISBN 978-0387972978.
Література
- J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 31,186. ISBN 0-486-60288-5.