Степінь точки відносно кола

У елементарній геометрії площини, степінь точки відносно кола — дійсне число h, яке показує відносну відстань заданої точки до даного кола. Зокрема, степінь точки Р по відношенню до кола O радіуса r визначається за формулою (рис. 1)

h=s^{2}-r^{2},

Рисунок 1. Степінь точки Р відносно кола з центром в точці О. Відстань s зображена помаранчевим кольором колір, радіус r синім кольором, а дотичний відрізок лінії PT червоним кольором.

де s є відстанню між Р і центром О кола. За цим визначенням точки всередині кола мають негативний степінь, точки зовні мають позитивний степінь, а точки на колі мають нульовий степінь. Для зовнішніх точок, степінь дорівнює квадрату довжини дотичного відрізка, проведеного від точки до кола. Степінь точки також відомий як степінь кола відносно точки.

Степінь точки Р (див. рис. 1), може бути еквівалентно визначено як добуток відстаней від точки Р до двох точок перетину будь-якого променю, що виходить з P. Наприклад, на рисунку 1, промінь, що виходить з P перетинає коло в двох точках, М і N, в той час як дотичний промінь перетинає коло в одній точці Т; горизонтальний промінь P перетинає коло в кінцях діаметра, точках А і В. Відповідні добутки відстаней дорівнюють між собою, і також дорівнюють степені точки Р до цього кола

\mathbf {\overline {PT}} ^{2}=\mathbf {\overline {PM}} \times \mathbf {\overline {PN}} =\mathbf {\overline {PA}} \times \mathbf {\overline {PB}} =(s-r)\times (s+r)=s^{2}-r^{2}=h.

Цю рівність іноді називають «теоремою про січні», або «про дотичну і січну».

Степінь точки використовується в багатьох геометричних визначеннях і в доказах. Наприклад, радикальна вісь двох кіл — це пряма, яка складається з точок, що мають однаковий степінь відносно обох кіл. Для кожної точки на цій прямій, є лише одне коло з центром в цій точці, яке ортогонально перетинає обидва кола; що те ж саме, дотичні рівної довжини можна зробити з цієї точки до обох даних кіл. Аналогічним чином, радикальним центром для трьох кіл буде єдина точка, з однаковим степенем відносно всіх трьох кіл. Відповідно, існує єдине коло, центр якого збігається з радикальним центром, яке ортогонально перетинає всі ці три кола, еквівалентно, дотичні, проведеними з радикального центру до всіх трьох кіл мають однакову довжину. Діаграма потужності множини кіл ділить площину на області, в межах яких для кола відбувається мінімізація степені.

Більш загальне визначення степені точки по відношенню до будь-якої алгебричної кривої дав французький математик Едмонд Лагерр аналогічним чином^{[джерело?]}.

Ортогональне коло

Малюнок 2: пунктирна окружність з центром в точці Р і перетинає дану окружність (суцільного чорного кольору) під прямим кутом, тобто під прямим кутом, в точці Т. квадрат радіуса ортогональної кола дорівнює потужності Р щодо дана коло.

Для точки Р поза колом, степінь h дорівнює R², квадрат радіуса R нового кола з центром в Р, яка перетинає дану окружність під прямим кутом, тобто ортогонально (малюнок 2). Якщо два кола відповідають під прямим кутом в точці Т, то радіуси звертається до Т з Р і з О, центр даного кола, аналогічним чином відповідають під прямим кутом (сегменти синя лінія на малюнку 2). Таким чином, радіус лінії відрізок кожного кола по дотичній до іншого кола. Ці відрізки утворюють прямокутний трикутник з відрізком прямої, що з'єднує O і P. Таким чином, по теоремі Піфагора,

$R^{2}=s^{2}-r^{2}=p$

де s знову відстань від точки Р до центру даного кола (суцільного чорного кольору на малюнку 2).

Така побудова ортогонального кола корисна для розуміння радикальної осі двох кіл, а радикальний центр трьох кіл. Точка Т може бути побудована-і, таким чином, радіус R і степінь р знайшли геометрично шляхом знаходження перетину даного кола з півколом (червоний на малюнку 2), зав'язаний на середній точці О і Р і проходить через обидві точки. З простої геометрії, вона також може бути показано, що точка Q є інверсією Р відносно даного кола.

Теореми

Степінь теореми точки, через Якоба Штайнера, стверджує, що для будь-якої лінії через яку перетинає С в точках Р і Q, степінь точки щодо кола задається з точністю до знака твором

$AP\cdot AQ$

довжин відрізків від А до Р і А до Q, з позитивним знаком, якщо А поза колом і негативним знаком інакше: якщо А на окружності, то добуток дорівнює нулю. У граничному випадку, коли лінія є дотичною до кола, P = Q, і результат безпосередньо випливає з теореми Піфагора.

У двох інших випадках, коли А знаходиться всередині кола, або А знаходиться поза колом, степінь теореми точці має два наслідки.

Теорема хорди, теорема пересічних хорд, і теорема степінь хорд-хорд говорить, що якщо точка всередині кола і PQ і RS є хордами кола, що перетинаються в точці А, то

$AP\cdot AQ=AR\cdot AS$

Загальна вартість цих продуктів є недолік потужності в точці А щодо кола.

Теорема пересічних січних (або теорема потужності січна-січною) стверджує, що якщо PQ і RS є хордами кола, які перетинаються в точці А поза колом, то

$AP\cdot AQ=AR\cdot AS$

У цьому випадку загальне значення таке ж, як степінь А по відношенню до кола.

Ттеорема дотичне-січна є окремим випадком теореми пересічних січних, де вказує Q і P збігаються, тобто

$AP\cdot AQ=AR\cdot AS$

$AP\cdot AP=AR\cdot AS$

$AP^{2}=AR\cdot AS$

Це має корисність в таких додатках, як визначення відстані до точки Р на горизонті, вибравши точки R і S, щоб сформувати хорд діаметра, так що RS є діаметр планети, AR висота над планетою, і А.P. відстань до горизонту.

Добуток Дарбу

Степінь точки є окремим випадком добутку Дарбу між двома колами, який задається

$(A_{1}A_{2})^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}$

де A₁ і A₂ є центрами двох кіл і r₁ і r₂ є їх радіуси. Степінь точки виникає в спеціальному випадку, коли один з радіусів дорівнює нулю. Якщо два кола перетинаються, то їх добуток Дарбу

$r_{1}r_{2}cos\varphi$

де φ є кут перетину.

Теорема Лагерра

Лагера визначив степінь точки Р відносно кривій алгебри ступеня n як продукт відстаней від точки до точки перетину кола через точку з кривою, поділена на n-го ступеня діаметра d. Лагера показав, що це число не залежить від діаметра.

У разі, коли крива алгебри являє собою коло, це не зовсім так само, як степінь точки щодо кола, визначеної в решті частини цієї статті, але відрізняється від нього на коефіцієнт d².

Посилання

Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: Wiley.
Darboux, Gaston (1872), «Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 1: 323—392.
Steiner, Jakob (1826), «Einige geometrische Betrachtungen», Journal für die reine und angewandte Mathematik 1: 161—184.

Подальше читання

C. Stanley Ogilvy (1990), Excursions in Geometry, Dover, pp. 6–23, ISBN 0-486-26530-7
Coxeter, H. S. M., S. L. Greitzer (1967), Geometry Revisited, Washington: MAA, pp. 27–31, 159—160, ISBN 978-0-88385-619-2
Johnson RA (1960), Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reprint of 1929 edition by Houghton Miflin ed.), New York: Dover Publications, pp. 28–34, ISBN 978-0-486-46237-0

Посилання

Jacob Steiner and the Power of a Point в Convergence
Eric W. Weisstein, «Circle Power» MathWorld.
Intersecting Chords Theorem в cut-the-knot
Intersecting Chords Theorem з інтерактивною анімацією
Intersecting Secants Theorem з інтерактивною анімацією

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.