Сферична теорема Піфагора

Сферична теорема Піфагора формулюється так[1]:

Косинус гіпотенузи прямокутного сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів його катетів.

Малюнок до доведення сферичної теореми Піфагора.

Доказ проведемо за допомогою тригранного кута[1] OA₁B₁C₁ зі сторонами (променями) OA₁, OB₁, OC₁ і вершиною в точці O, плоскі кути A₁OC₁ і C₁OB₁ якого дорівнюють катетам b і a даного трикутника, плоский кут A₁OB₁ дорівнює його гіпотенузі c, двогранний кут між гранями A₁OC₁ і C₁OB₁ дорівнює 90 градусів, а інші два двогранних кути дорівнюють відповідним кутам прямокутного сферичного трикутника. Цей тригранний кут перетинає площина A₁B₁C₁, перпендикулярна до променя OB₁. Тоді кути A₁C₁O і A₁C₁B₁ будуть прямими.

Зауважимо, що

${\displaystyle {\frac {OB_{1}}{OA_{1}}}=\cos \angle A_{1}OB_{1}=\cos c,}$

${\displaystyle {\frac {OC_{1}}{OA_{1}}}=\cos \angle A_{1}OC_{1}=\cos b,}$

${\displaystyle {\frac {OB_{1}}{OC_{1}}}=\cos \angle C_{1}OB_{1}=\cos a.}$

Звідси

${\displaystyle \cos c={\frac {OB_{1}}{OA_{1}}}={\frac {OB_{1}}{OC_{1}}}\cdot {\frac {OC_{1}}{OA_{1}}}=\cos a\cos b.}$

Що й потрібно було довести.

Якщо вважати, що сферичну теорему косинусів уже доведено, формулу для сферичної теореми Піфагора можна зразу отримати з неї, записавши сферичну теорему косинусів для гіпотенузи даного прямокутного сферичного трикутника і просто підставивши в отриманий вираз кут 90°, косинус якого дорівнює нулю.

За радіусу сфери, що прямує до нескінченності, сферична теорема Піфагора переходить у теорему Піфагора планіметрії. Тому, оскільки радіус Землі великий, за невеликих відстаней прямокутні трикутники на поверхні Землі (наприклад, використовувані для вимірювання відстаней і кутів на місцевості) практично підпорядковуються теоремі Піфагора планіметрії[2], тоді як для великих відстаней, порівнянних з радіусом Землі, вже необхідно застосовувати сферичну теорему Піфагора.

Застосувавши сферичну теорему Піфагора, можна отримати формули для різниці довгот і відстані між точками земної поверхні, а, отже, й відповідні формули для відстаней і координат точок на небесній сфері.

Зі сферичної теореми Піфагора випливає, що в прямокутному сферичному трикутнику кількість сторін, менших від 90°, непарна, а більших — парна[1]. Тому якщо обидва катети прямокутного сферичного трикутника більші від 90°, то його гіпотенуза менша від 90°, тобто в цьому випадку гіпотенуза коротша від кожного з двох катетів — положення, неможливе для прямокутного трикутника на площині.

Сферична теорема Піфагора була відома ще Аль-Біруні, який разом з тим не знав сферичної теореми косинусів, тому застосував сферичну теорему Піфагора і теорему синусів для розв'язання принаймні двох задач: визначення різниці довгот двох пунктів на поверхні Землі за їх широтами і відстанню між ними і визначення відстані між двома пунктами на поверхні Землі за їх широтами і довготами[3]^:81.

• Теорема Піфагора