Тригранний кут

Кожен плоский кут тригранного кута менше суми двох інших його плоских кутів.

Сума плоских кутів тригранного кута менша від 360 градусів.

Доведення.

Нехай OABC — даний тригранний кут. Розглянемо тригранний кут з вершиною A, утворений гранями ABO, ACO і кутом BAC. Напишемо нерівність:

${\displaystyle \angle BAC<\angle BAO+\angle CAO}$

Аналогічно, і для решти тригранних кутів з вершинами B і С:

${\displaystyle \angle ABC<\angle ABO+\angle CBO}$

${\displaystyle \angle ACB<\angle ACO+\angle BCO}$

Складаючи ці нерівності і враховуючи, що сума кутів трикутника ABC дорівнює 180°, отримуємо

${\displaystyle 180<\angle BAO+\angle CAO+\angle ABO+\angle CBO+\angle BCO+\angle ACO=180-\angle AOB+180-\angle BOC+180-\angle AOC}$

Отже: ${\displaystyle \angle AOB+\angle BOC+\angle AOC<360}$

Перша теорема косинусів для тригранного кута cos α = cos βcos γ + sin βsin γcos A

${\displaystyle \cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta }\sin {\gamma }\cos {A}}$

Друга теорема косинусів для тригранного кута

${\displaystyle \cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha },}$

де α, β, γ — плоскі кути, A, B, C — двогранні кути, складені площинами кутів β і γ, α і γ, α і β.

Доведення другої теореми косинусів для тригранного кута. Нехай OABC — даний тригранний кут. Опустимо перпендикуляри з внутрішньої точки тригранного кута на його грані й отримаємо новий тригранний кут полярний (подвійний даному). Плоскі кути одного тригранного кута доповнюють двогранні кути іншого і двогранні кути одного кута доповнюють плоскі іншого до 180 градусів. Тобто плоскі кути полярного кута відповідно рівні: 180 — А; 180 — В; 180 — С, а двогранні — 180 — α; 180 — β; 180 — γ. Напишемо першу теорію косинусів для нього

${\displaystyle \cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}}$

і після спрощень отримуємо:

${\displaystyle \cos {A}=\cos {\alpha }\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}}$

${\displaystyle {\sin {\alpha } \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}}$, де α, β, γ — плоскі кути тригранного кута; A, B, C — протилежні їм двогранні кути.

• Тілесний кут