Теорема Адамара про три прямі

Нехай f є голоморфною і обмеженою функцією в області ${\displaystyle B=\{x+iy:(x,y)\in ]a,b[\times \mathbb {R} \}}$ і є неперервною в замиканні ${\displaystyle {\overline {B}}}$.

Тоді можна ввести функцію : ${\displaystyle M:x\mapsto \sup _{y}|f(x+iy)|}$.

Тоді ${\displaystyle \ln(M(x))}$ є опуклою функцією на [a, b], іншими словами :

${\displaystyle \forall t\in [0,1],\ a\leqslant c<d\leqslant b,x=tc+(1-t)d}$, виконується нерівність ${\displaystyle M(x)\leq M(c)^{t}M(d)^{1-t}.}$

Нижче подано доведення нерівності для a, b. Подібно можна довести твердження для довільного відрізка, що міститься у [a, b].

Введемо функцію : ${\displaystyle F:z\mapsto f(z)M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}M(b)^{\frac {z-a}{a-b}}}$. Вона є голоморфною на ${\displaystyle B}$. Якщо ${\displaystyle z=x+iy}$ то

${\displaystyle |M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}|=M(a)^{\frac {x-b}{b-a}}=M(a)^{-t},}$.

де ${\displaystyle t={\frac {b-x}{b-a}}.}$ Так само

${\displaystyle |M(b)^{\frac {z-a}{b-a}}|=M(b)^{t-1}}$.

Якщо ${\displaystyle z=a+iy}$ то з попередніх формул ${\displaystyle |M(z)|=|f(z)|M(a)^{-1}\leqslant 1.}$

Також, якщо ${\displaystyle z=b+iy}$ то з попередніх формул ${\displaystyle |M(z)|=|f(z)|M(b)^{-1}\leqslant 1.}$

Тобто на границі області ${\displaystyle B}$ в усіх точках ${\displaystyle |M(z)|\leqslant 1.}$ Якщо ця властивість виконується також в усіх точках області ${\displaystyle B,}$ то звідси випливає

${\displaystyle \forall z=x+iy\in {\overline {B}},|f(z)|\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t}}$, де ${\displaystyle t={\frac {b-x}{b-a}},}$ що і є твердженням теореми.

Для доведення розглянемо послідовність функцій:

${\displaystyle F_{n}(z)=F(z)e^{((z-a)/(b-a))^{2}/n}e^{-1/n}.}$

Ці функції прямують до 0 якщо |z| прямує до безмежності і також |F_n| ≤ 1 на границі області ${\displaystyle B.}$ Згідно принципу максимуму модуля звідси випливає також |F_n| ≤ 1 на всій області ${\displaystyle B.}$. Але ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(z)=F(z),\ \forall z\in {\bar {B}}.}$ Тому ${\displaystyle F(z)\leqslant 1,\ \forall z\in {\bar {B}},}$ що завершує доведення.

• Теорема Адамара про три кола

• Garling, D. J. H. (2007). Inequalities: A Journey into Linear Analysis. Cambridge Univercity Press. с. 135-136. ISBN 0-521-69973-8.
• Hadamard, Jacques (1896). Sur les fonctions entières. Bull.Soc. Math. France 24: 186–187.
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975). Methods of modern mathematical physics, Volume 2: Fourier analysis, self-adjointness. Elsevier. с. 33–34. ISBN 0-12-585002-6.
• Ullrich, David C. (2008). Complex made simple. Graduate Studies in Mathematics 97. American Mathematical Society. с. 386–387. ISBN 0-8218-4479-2.