Принцип максимуму модуля

Якщо ${\displaystyle f}$ є голоморфною в деякій області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ і існує точка ${\displaystyle z_{0}\in D}$ така, що у всій області ${\displaystyle D}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(z_{0})|\geqslant |f(z)|}$, то ${\displaystyle f(z)\equiv \mathrm {const} }$.

Іншими словами, модуль голоморфної функції, відмінної від константи, не може мати локальних максимумів всередині області ${\displaystyle G}$.

Отже, якщо ${\displaystyle f(z)}$ є неперервною в обмеженій замкнутій області ${\displaystyle D}$ і голоморфною у внутрішніх точках, то найбільше значення модуля функції досягається тільки в граничних точках області ${\displaystyle D}$.

Існує кілька доведень теореми. Зокрема принцип максимуму модуля є наслідком принципу збереження області.

Оскільки образом голоморфної функції на області теж є область, то для кожної точки образу існує круг, що належить образу. У цьому кругу, очевидно, існують точки як із більшим, так і з меншим модулем, ніж у центрі круга. Оскільки точка у образі функції вибрана довільно це завершує доведення.

Також теорему можна довести за допомогою теореми про середнє значення. Припустимо, що ${\displaystyle z\in D}$ точка в якій модуль функції приймає максимальне значення.

Нехай ${\displaystyle r>0}$, таке що ${\displaystyle B_{r}\left({z}\right)\subset D}$. Згідно теореми про середнє значення:

${\displaystyle \displaystyle f\left({z}\right)={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left({z+re^{i\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta }$

Тоді:

${\displaystyle \displaystyle \left\vert {f\left({z}\right)}\right\vert \leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left\vert {f\left({z+re^{i\theta }}\right)}\right\vert \,\mathrm {d} \theta \leq \max _{\theta }\left\vert {f\left({z+re^{i\theta }}\right)}\right\vert }$

Тому має виконуватися:

${\displaystyle \exists \omega \in C_{r}\left({z}\right):\left\vert {f\left({z}\right)}\right\vert \leq \left\vert {f\left({\omega }\right)}\right\vert }$

де ${\displaystyle C_{r}\left({z}\right)}$ є колом радіуса ${\displaystyle r}$ з центром в точці ${\displaystyle z}$.

До того ж рівність можлива тільки тоді коли ${\displaystyle \left\vert {f}\right\vert }$ є константою на ${\displaystyle C_{r}\left({z}\right)}$. Оскільки рівність виконується для всіх ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle \left\vert {f}\right\vert }$ буде константою на ${\displaystyle B_{r}\left({z}\right)}$. Тоді ${\displaystyle f}$ має бути константою на ${\displaystyle D}$, що суперечить умові.

Як наслідок:

${\displaystyle \exists \omega \in C_{r}\left({z}\right):\left\vert {f\left({z}\right)}\right\vert <\left\vert {f\left({\omega }\right)}\right\vert }$

• Принцип мінімуму модуля. Якщо ${\displaystyle f}$ голоморфна в деякій області ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$, що не є рівною нулю в жодній точці, і існує точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$ така, що у всій області ${\displaystyle G}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(z_{0})|\leqslant |f(z)|}$, то ${\displaystyle f(z)\equiv \mathrm {const} }$. (Тобто локальні мінімуми модуля голоморфної функції, що не є рівною константі, можуть досягатися тільки в тих точках, де функція рівна нулю.)
• Принцип максимуму дійсної і уявною частини. Якщо для голоморфної функції ${\displaystyle f(z)}$ в точці ${\displaystyle z_{0}\in G}$ досягається локальний максимум (мінімум) її дійсної (або уявної) частини, то функція ${\displaystyle f(z)}$ є константою.

(Тут використовується звичайний принцип максимуму модуля для функцій ${\displaystyle e^{f(z)}}$ і ${\displaystyle e^{if(z)}}$, а також рівність ${\displaystyle \left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm {Re} \,f(z)}}$.)

• Нехай ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ — компактна підмножина. Для будь-якої функції ${\displaystyle f}$, неперервної на ${\displaystyle K}$ і голоморфної всередині ${\displaystyle K}$, виконано рівність:

${\displaystyle \|f\|_{K}=\|f\|_{\partial K}.}$ Якщо послідовність таких функцій рівномірно збігається на границі компакта ${\displaystyle K}$, тоді вона рівномірно збігається на всьому ${\displaystyle K}$.

Твердження принципу максимуму модуля є справедливим і у випадку випадку, якщо ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною функцією на зв'язаному комплексному многовиді, зокрема на рімановій поверхні.

Замість голоморфності ${\displaystyle f(z)}$ у твердженні теореми достатньо припустити тільки, що ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$ — (комплексна) гармонічна функція, тобто ${\displaystyle u(z),v(z)}$ є гармонічними як дійсні функції двох дійсних змінних. Довільна голоморфна функція є комплексною гармонічною.

Для голоморфної функції ${\displaystyle f(z)}$ модуль ${\displaystyle |f(z)|}$ є логарифмічно субгармонічною функцією, тобто її логарифм є субгармонічною функцією.

Принцип максимуму модуля узагальнюється і на голоморфні відображення. Нехай ${\displaystyle F=(f_{1},\ldots ,f_{m}):D\to \mathbb {C} ^{m}}$ — голоморфне відображення області ${\displaystyle D}$ в просторі ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, тобто ${\displaystyle f_{j}}$ — голоморфні функції і ${\displaystyle \|F\|={\sqrt {|f_{1}|^{2}+\ldots |f_{m}|^{2}}}}$ — евклідова норма. Тоді ні в якій точці функція ${\displaystyle \|f(z)\|}$ не може досягати локального максимуму.

Принцип максимуму модуля є справедливий щоразу, коли виконується принцип збереження області.

• Лема Шварца
• Принцип збереження області

• Шабат, Б. В. (1976). Введение в комплексный анализ, ч. I. «Наука».
• Ludger Kaup, Burchard Kaup, Holomorphic functions of several variables:an introduction to the fundamental theory. Walter de Gruyter, 1983 ISBN 978-3110041507
• Krantz, Steven G. (1992). Function Theory of Several Complex Variables. Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second). Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. с. xvi+557. ISBN 0-534-17088-9. MR 1162310. Zbl 776.32001..