Комплексний аналіз

Похідна для комплексної функції одного аргументу ${\displaystyle w=f(z)}$ визначається так само, як і для дійсної[3]:

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}}$

(тут ${\displaystyle h}$ — комплексне число). Якщо ця границя існує, функція називається диференційовною або голоморфною. При цьому

${\displaystyle f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h).}$

Слід враховувати одну важливу особливість: оскільки комплексна функція задана на площині, існування наведеної границі означає, що вона однакова при наближенні до ${\displaystyle z}$ з будь-якого боку. Цей факт накладає суттєві обмеження на вигляд функцій-компонент ${\displaystyle u,\;v}$ і визначає їх жорсткий взаємозв'язок (умови Коші — Рімана, вони ж умови Ейлера — Даламбера):

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

Звідси випливає, що диференційовності компонент ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ недостатньо для диференційовності самої функції.

Більше того, мають місце такі властивості, що відрізняють комплексний аналіз від дійсного:

• Кожна диференційовна в деякому околі точки ${\displaystyle z}$ комплексна функція диференційовна необмежену кількість разів і аналітична, тобто її ряд Тейлора збігається до даної функції у всіх точках цього околу (в літературі поряд з терміном аналітична функція використовуються його синоніми «голоморфна функція», «регулярна функція»).
• (Теорема Ліувіля): якщо функція диференційовна на всій комплексній площині і не є константою, то її модуль не може бути обмежений.
• Обидві компоненти комплексної диференційованої функції є гармонійними функціями, тобто задовольняють рівнянню Лапласа:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0;\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.}$

• Будь-яка гармонійна функція може бути як дійсною, так і уявною компонентою диференційовної функції. При цьому інша компонента визначається однозначно (з умов Коші — Рімана), з точністю до константи-доданка.

Таким чином, будь-яка диференційовна комплексна функція — це функція виду ${\displaystyle u+iv}$, де ${\displaystyle u,\;v}$ — взаємопов'язані гармонійні функції двох аргументів.

Нехай функції ${\displaystyle f(z)}$ і ${\displaystyle g(z)}$ диференційовні в області ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$. Тоді ${\displaystyle f(z)\pm g(z)}$ і ${\displaystyle f(z)\cdot g(z)}$ також диференційовні в цій області. Якщо ${\displaystyle g(z)}$ в області ${\displaystyle G}$ не перетворюється в нуль, то ${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$ буде диференційовною в ${\displaystyle G.}$ Композиція функцій ${\displaystyle f(g(z))}$ диференційовна скрізь, де вона визначена. Якщо похідна функції ${\displaystyle w=f(z)}$ в області ${\displaystyle G}$ не перетворюється в нуль, то існує обернена до неї функція ${\displaystyle z=\varphi (w)}$і вона буде диференційовною.

Похідна суми, різниці, добутку, частки від ділення, композиції функцій та оберненої функції обчислюється за тими ж формулами, що і в дійсному аналізі.

Приклад конформного відображення. Видно, що кути зберігаються.

Кожна комплексна функція ${\displaystyle w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)}$ визначає деяке відображення комплексної площини з координатами ${\displaystyle (x,\;y)}$ на іншу комплексну площину з координатами ${\displaystyle (u,\;v)}$. При цьому вираз

${\displaystyle \left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)}$

при малому ${\displaystyle h}$ геометрично можна витлумачити як коефіцієнт масштабування, яке виконує дане відображення при переході від точки ${\displaystyle z}$ до точки ${\displaystyle z+h}$. Існування межі ${\displaystyle \lim _{h\to 0}k(h)}$, тобто модуля похідної ${\displaystyle |f^{\prime }(z)|=k}$, означає, що коефіцієнт масштабування однаковий в будь-якому напрямку від точки ${\displaystyle z}$, тобто не залежить від напрямку. Взагалі кажучи, коефіцієнт масштабування змінюється від точки до точки[4].

Якщо коефіцієнт масштабування ${\displaystyle k>1}$, то в околі точки ${\displaystyle z}$ відстані між точками збільшуються, і коефіцієнт масштабування називають коефіцієнтом розтягування. Якщо коефіцієнт масштабування ${\displaystyle k<1}$, то в околі точки ${\displaystyle z}$ відстані між точками зменшуються, і коефіцієнт масштабування називають коефіцієнтом стиснення. Приклад для функції ${\displaystyle f(z)=z^{2}+2z-1}$: у точці ${\displaystyle z=1}$ похідна дорівнює 4, тому всі довжини збільшуються в чотири рази.

Що стосується аргументу похідної, то він визначає кут повороту гладкої кривої, що проходить через дану точку ${\displaystyle z}$. Всі гладкі криві при такому відображенні повертаються на один і той же кут. Відображення, що зберігають кути, називаються конформними; таким чином, будь-яка диференційована комплексна функція визначає конформне відображення (в тій області, де її похідна не перетворюється в нуль)[5]. З цим фактом пов'язане широке застосування комплексних функцій у картографії та гідродинаміці[6].

Поняття первісної комплексної функції (невизначеного інтеграла) вводиться так само, як у дійсому випадку. Однак аналог визначеного інтеграла в інтервалі від ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$ на комплексній площині, взагалі кажучи, не існує, оскільки шлях від початкової точки до кінцевої неоднозначний. Тому основним видом комплексного інтеграла є криволінійний інтеграл, що залежить від конкретного шляху. Нижче будуть вказані умови, за виконання яких інтеграл не залежить від шляху, і тоді інтеграл «від точки до точки» може бути визначений коректно.

Нехай рівняння ${\displaystyle z=z(t),\;a\leqslant t\leqslant b}$ визначає деяку кусково-гладку криву ${\displaystyle \gamma }$ у комплексній площині, а функція ${\displaystyle f(z)}$ визначена в точках цієї кривої. Поділимо інтервал задання параметра на ${\displaystyle n}$ рівних частин: ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b}$ розглянемо інтегральну суму:

${\displaystyle \sum _{1\leqslant k\leqslant n}f(z(t_{k}))(z(t_{k})-z(t_{k-1})).}$

Границя цієї суми при необмеженому зростанні ${\displaystyle n}$ називається (комплексним) інтегралом по кривій ${\displaystyle \gamma }$ від даної функції ${\displaystyle f(z)}$; вона позначається:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz.}$

Для будь-якої функції ${\displaystyle f(z)}$, неперервної вздовж ${\displaystyle \gamma }$цей інтеграл існує і може бути обчислений через звичайний дійсний інтеграл за параметром:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz=\int \limits _{a}^{b}\!f(z(t))z'(t)\,dt=\int \limits _{\gamma }\!(u\,dx-v\,dy)+i\int \limits _{\gamma }\!(v\,dx+u\,dy).}$

Тут ${\displaystyle u,\;v}$ — компоненти ${\displaystyle f(z)}$. З цього подання зразу ж випливає, що властивості комплексного інтеграла аналогічні властивостям дійсного криволінійного інтеграла.

Особливий практичний інтерес являють інтеграли за (замкнутим) контуром, тобто за кусково-гладкою кривою без точок самоперетину, в якій початкова точка збігається з кінцевою. Контур можна обходити у двох напрямках; додатним вважається напрямок, за якого обмежена контуром область розташовується зліва по ходу руху.

Якщо крива ${\displaystyle \gamma }$ утворює замкнутий контур, вживається особливе позначення інтеграла:

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz.}$

Має місце важлива інтегральна теорема Коші: для будь-якої функції ${\displaystyle f(z)}$, аналітичної в однозв'язній області ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$ і для будь-якого замкнутого контуру ${\displaystyle \gamma \subset A}$ інтеграл за ним дорівнює нулю:

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz=0}$.

Наслідок: нехай функція ${\displaystyle f(z)}$, аналітична в однозв'язній області ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$, а точки ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ з області ${\displaystyle A}$ з'єднані деякою кривої ${\displaystyle \gamma }$. Тоді інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz}$ залежить тільки від точок ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$, але не від вибору кривої ${\displaystyle \gamma }$, що їх з'єднує, так що можна позначити його ${\displaystyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}}$і має місце теорема Ньютона — Лейбніца:

${\displaystyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}),}$

де ${\displaystyle F(z)}$ — первісна для ${\displaystyle f(z)}$.

Існує узагальнення інтегральної теореми Коші для багатозв'язної області: якщо функція аналітична в замкнутій багатозв'язній області, то інтеграл від неї за зовнішнім контуром області дорівнює сумі інтегралів за всіма внутрішніми контурами (в тому ж напрямку, що й за зовнішнім)[7]. Це узагальнення зручно застосовувати, якщо область містить особливу точку функції (див. нижче), де функція не аналітична або не визначена.

Інші потужні інструменти для дослідження комплексних і дійсних інтегралів:

• Інтегральна формула Коші та її наслідки: принцип максимуму модуля, теореми про середнє
• Основна теорема про лишки

Визначення суми числового ряду та ознаки збіжності в комплексному аналізі практично такі ж, як у дійсному, з заміною абсолютної величини комплексним модулем; виняток становлять ознаки збіжності, в яких відбувається порівняння на більше-менше самих елементів ряду, а не їхніх модулів.

Кожна диференційовна в точці ${\displaystyle z_{0}}$ функція розкладається в околі цієї точки в степеневий ряд Тейлора:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

Коефіцієнти ряду обчислюються за звичайними формулами. Цей ряд збігається до функції ${\displaystyle f(z)}$ у певному колі радіуса ${\displaystyle R}$ з центром у точці ${\displaystyle z_{0}}$, яке служить аналогом інтервалу збіжності дійсного ряду. У цьому колі ряд абсолютно збігається, а поза ним — розбігається. При цьому можливі 3 випадки.

1. Ряд збігається в колі скінченного і ненульового радіуса.
2. Ряд збігається у всій комплексній площині, тобто ${\displaystyle R=\infty }$. Такі функції називають цілими.
3. Ряд збігається лише в точці ${\displaystyle z_{0}}$. Приклад: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!(z-z_{0})^{n}}$. Такі точки ${\displaystyle z_{0}}$ називаються особливими для функції ${\displaystyle f(z).}$ Неособливі точки називаються правильними. Внутрішність круга збіжності складається з правильних точок.

Межа кола збіжності містить хоча б одну особливу точку. Звідси випливає, що радіус кола збіжності в точці ${\displaystyle z_{0}}$ дорівнює відстані від ${\displaystyle z_{0}}$ до найближчої до неї особливої точки.

Теорема Абеля: якщо ${\displaystyle R}$ — радіус кола збіжності степеневого ряду, то в будь-якому колі з тим самим центром, але меншого радіуса, ряд збігається рівномірно.

Являє великий практичний інтерес дослідження поведінки функції поблизу ізольованої особливої точки, тобто точки, навколо якої функція аналітична, але в самій точці або не аналітична, або не визначена. Степеневий ряд тут марний, тому вводиться загальний ряд Лорана:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}}}$

Якщо область збіжності ряду Лорана не порожня, вона являє собою кругове кільце: ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$.

Основна теорема: якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ аналітична в круговому кільці, то вона може бути подана в цьому кільці збіжним рядом Лорана, причому однозначно.

Як і для степеневого ряду, межі кільця збіжності визначаються розподілом особливих точок функції. За виглядом ряду Лорана можна зробити деякі висновки про поведінку функції поблизу точки ${\displaystyle z_{0}}$.

1. Усувна особлива точка: якщо ряд Лорана не містить елементів з від'ємними степенями ${\displaystyle z-z_{0}}$. Тоді це просто степеневий ряд, що визначає функцію в певному колі, що оточує ${\displaystyle z_{0}}$. Сума ряду в цьому колі скінченна і може відрізнятись від ${\displaystyle f(z)}$ тільки в точці ${\displaystyle z_{0}}$, тому досить перевизначити ${\displaystyle f(z_{0})}$, щоб функція стала аналітичною у всьому колі. Має місце така ознака: якщо функція поблизу ${\displaystyle z_{0}}$ аналітична і обмежена, то ${\displaystyle z_{0}}$ — усувна особлива точка.
2. Полюс: якщо ряд Лорана містить скінченне число елементів з від'ємними степенями ${\displaystyle z-z_{0}}$. У цьому випадку функція в точці ${\displaystyle z_{0}}$ нескінченна (за модулем).
3. Суттєво особлива точка: якщо ряд Лорана містить нескінченне число елементів з від'ємними степенями ${\displaystyle z-z_{0}}$. У цьому випадку функція в точці ${\displaystyle z_{0}}$ не може бути коректно визначена так, щоб бути неперервною.