Теорема Брауера про нерухому точку

Теорема Брауера про нерухому точку — теорема про наявність хоча б одної нерухомої точки функції F за деяких умов на F. Є основною для деяких більш загальних теорем.

Зокрема, будь-яке неперервне відображення замкнутої кулі в себе в скінченновимірному евклідовому просторі має нерухому точку. Брауер довів теорему для випадку ${\displaystyle n=3}$ в 1909 році.

Нехай для точки ${\displaystyle x\in \mathbb {D} ^{n}}$ маємо ${\displaystyle f(x)\neq x.}$ Сполучимо ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle x}$ променем. Точку перетину променя ${\displaystyle [f(x),x)}$ із граничною сферою ${\displaystyle S^{n-1}=\partial \mathbb {D} ^{n}}$ позначмо ${\displaystyle y=g(x).}$ Таким чином, маємо деформаційну ретракцію ${\displaystyle g:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow S^{n-1};}$ відповідна гомотопія задається формулою ${\displaystyle F(x,t)=tx+(1-t)g(x).}$