Теорема Лефшеца про нерухому точку

• Якщо функції f і g є гомотопно еквівалентними, то ${\displaystyle \Lambda _{f}=\Lambda _{g}.}$

• У випадку, наприклад, скінченного симпліціального комплексу число Лефшеца можна ввести в інший спосіб. Тоді відображення ${\displaystyle f:X\to X}$ задає лінійні відображення ${\displaystyle f_{n}:S_{n}(X,\mathbb {Q} )\to S_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ на скінченновимірних просторах ${\displaystyle S_{n}(X,\mathbb {Q} ),}$ елементи базиса яких є у бієктивній відповідності із n-симплексами симпліціального комплексу. Відображення ${\displaystyle f_{n}}$ одержуються, наприклад композицією відображень ${\displaystyle f_{n}:C_{n}(X,\mathbb {Q} )\to C_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ на сингулярному комплексі із ланцюговими відображеннями, що задають еквівалентність симпліціальних і сингулярних гомологій. Тоді:

${\displaystyle \Lambda _{f}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}\mathrm {Tr} (f_{n}).}$

Нижче цикли, границі і гомології подані для симпліціального випадку. Для доведення позначимо відображення ${\displaystyle f_{n}':B_{n}(X,\mathbb {Q} )\to B_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ і ${\displaystyle {\bar {f}}_{n}:S_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )\to S_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )}$. Із елементарних властивостей сліду лінійних відображень над скінченновимірними векторними просторами випливає, що ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{n})=\mathrm {Tr} (f_{n}')+\mathrm {Tr} (f_{*}^{n})+\mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})}$. Але граничний гомоморфізм ${\displaystyle \partial }$ задає ізоморфізми ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{n}:C_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )\to B_{n-1}(X,\mathbb {Q} )}$ і ${\displaystyle {\bar {f}}_{n}={\bar {\partial }}_{n}^{-1}\circ f_{n}'\circ {\bar {\partial }}_{n}}$, а тому ${\displaystyle \mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})=\mathrm {Tr} (f_{n-1}')}$. Остаточний результат одержується підстановкою виразу ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{*}^{n})}$ через ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{n}),\mathrm {Tr} (f_{n}')}$ і ${\displaystyle \mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})}$ у формулу числа Лефшеца і скороченням ${\displaystyle \mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})}$ і ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{n-1}'),}$ які будуть мати різні знаки.

• Якщо у випадку скінченного симпліціального комплексу взяти ${\displaystyle f=1_{X}}$ (одиничне відображення на просторі ${\displaystyle X}$) то ${\displaystyle 1_{*}^{n}:H_{n}(X,\mathbb {Q} )\to H_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ є одиничними відображеннями на гомологічних групах і ${\displaystyle \mathrm {Tr} (1_{n})}$ є рівним кількості симплексів розмірності n (оскільки сингулярні і симпліціальні гомології у цьому випадку є еквівалентними). Тому ${\displaystyle \Lambda _{1_{X}}=\chi (X)}$, тобто число Лефшеца для одиничного відображення є рівним характеристиці Ейлера даного простору.

Більш детально припустимо, що всі нерухомі точки відображення ${\displaystyle f:X\to X}$ ізольовані.

Для кожної нерухомої точки ${\displaystyle x\in X}$, позначимо через ${\displaystyle i(x)}$ її індекс Кронекера (локальний степінь відображення ${\displaystyle f}$ в околі точки ${\displaystyle x}$). Тоді формула Лефшеца для ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle f}$ має вигляд

${\displaystyle \sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda _{f}.}$

Для скінченного лінійно зв'язного симпліціального комплексу K, для якого гомологічні групи ${\displaystyle H_{n}(K)=H_{n}(K,\mathbb {Z} )}$є скінченними для всіх ${\displaystyle n>0}$, то будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f:|K|\to |K|}$має нерухомі точки. Дане твердження є правильним, тому що ${\displaystyle H_{n}(K,\mathbb {Q} )\simeq H_{n}(K,\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }$ і для кожної скінченної абелевої групи G, виконується ${\displaystyle G\otimes Q=0}$(тривіальна група), натомість для кожного лінійно зв'язного простору ${\displaystyle H_{n}(K,\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q} }$ і для будь-якого неперервного відображення ${\displaystyle f:|K|\to |K|}$породжений гомоморфізм ${\displaystyle f_{*}^{0}:H_{0}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )}$є одиничним відображенням одновимірного векторного простору; відповідно ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{*}^{0})}$і тому ${\displaystyle \Lambda _{f}=1.}$

Наслідками цього твердження є:

• Якщо K є стягуваним простором, наприклад кулею, то ${\displaystyle H_{n}(K)=0}$ для всіх ${\displaystyle n>0}$то будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f:|K|\to |K|}$має нерухомі точки. Таким чином теорема Брауера про нерухомі точки є частковим випадком теореми Лефшеца.
• Для дійсного проективного простору ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$де ${\displaystyle n}$є парним числом для всіх ${\displaystyle r>0}$гомологічні групи ${\displaystyle H_{r}(K)}$є рівними ${\displaystyle 0}$або ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$і тому будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f:\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$має нерухомі точки.

Нехай тепер ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ — неперервне відображення сфери, що не має нерухомих точок. Єдиними ненульовими гомологічним групами у цьому випадку є ${\displaystyle H_{0}(S^{n},\mathbb {Q} )\simeq H_{n}(S^{n},\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle f_{*}^{0}:H_{0}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )}$є одиничним лінійним відображенням, а ${\displaystyle f_{*}^{n}:H_{n}(X,\mathbb {Q} )\to H_{n}(X,\mathbb {Q} )}$задається як ${\displaystyle f_{*}^{n}(\sigma )=d\sigma }$для деякого раціонального числа d. Тоді ${\displaystyle \Lambda _{f}=1+(-1)^{n}d=0}$ і тому ${\displaystyle d=(-1)^{n+1}}$.

• Наслідком цього твердження є те, що для парного числа ${\displaystyle n}$для довільного неперервного відображення ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ гомотопного одиничному існують нерухомі точки. Звідси зокрема отримується твердження про відсутність неперервних дотичних векторних полів, що не є рівні нулю в усіх точках для сфер ${\displaystyle S^{2n}}$.

Нехай тепер G — лінійно зв'язна компактна група Лі і T — максимальний тор у цій групі. Позначимо X = G/T. Тоді X є компактним многовидом і для кожного ${\displaystyle g\in G}$ відображення

${\displaystyle f_{g}:X\to X\quad f_{g}(xT)=gxT}$

є диференційовним. Оскільки група є лінійно зв'язною то всі відображення ${\displaystyle f_{g}}$ є гомотопно еквівалентними одиничному відображенню і тому числа Лефшеца всіх цих відображень є рівними характеристиці Ейлера простору X. Можна довести, що ${\displaystyle \chi (X)=\left|N(T)/T\right|,}$ тобто порядку факторгрупи нормалізатора максимального тора по самому максимальному тору. Ця факторгрупа завжди є скінченною.

З теореми Лефшеца випливає, що кожне відображення ${\displaystyle f_{g}}$ має нерухому точку для якої ${\displaystyle xT=gxT}$. Тоді зокрема ${\displaystyle x^{-1}gx\in T}$, тобто кожен елемент групи G є спряженим із деяким елементом максимального тора T. Якщо взяти топологічний генератор якогось іншого тора (топологічним генератором групи називається елемент ${\displaystyle g}$такий, що множина степенів ${\displaystyle g^{n}}$є щільною у групі; для максимальних торів у компактних групах Лі топологічні генератори завжди існують) то звідси випливає, що два максимальні тори у групі G є спряженими. Це твердження є важливим у теорії представлень компактних груп Лі.