Теорема Какутані про нерухому точку

Оскільки X — компактна множина, то для неї існує скінченна ε-сітка ${\displaystyle N_{\epsilon }=\{a_{\epsilon }^{i}|i=1,...,s_{\epsilon }\}}$ для будь-якого ε > 0. Виберемо і зафіксуємо довільну точку ${\displaystyle b_{\epsilon }^{i}}$ в кожній із множин ${\displaystyle f(a_{\epsilon }^{i})}$. Задамо тепер ${\displaystyle s_{\epsilon }}$ неперервних на X функцій ${\displaystyle \theta _{\epsilon }^{i}}$, що мають вигляд

${\displaystyle \theta _{\epsilon }^{i}(x)=\max\{\epsilon -\lVert x-a_{\epsilon }^{i}\rVert ,0\}\quad i=1,...s_{\epsilon }.}$

Ці функції є невід'ємними і окрім того того, їх сума завжди є додатною оскільки з означення ε-сітки для будь-якого x маємо ${\displaystyle \epsilon >\lVert x-a_{\epsilon }^{i}\rVert }$ хоча б для одного i, так що для цього i маємо ${\displaystyle \theta _{\epsilon }^{i}(x)>0.}$. Виходячи з цього, можна побудувати ${\displaystyle s_{\epsilon }}$вагових функцій

${\displaystyle w_{\epsilon }^{i}(x)={\frac {\theta _{\epsilon }^{i}(x)}{\sum _{j=1}^{s_{\epsilon }}\theta _{\epsilon }^{j}(x)}}\quad i=1...s_{\epsilon }.}$

Користуючись ваговими функціями ${\displaystyle w_{\epsilon }^{i}(x),}$ визначимо однозначне неперервне відображення ${\displaystyle f_{\epsilon }(x)}$ за допомогою формули

${\displaystyle f_{\epsilon }(x)=\sum _{j=1}^{s_{\epsilon }}w_{\epsilon }^{i}(x)b_{\epsilon }^{i}.}$

З умов ${\displaystyle b_{\epsilon }^{i}\in X\quad (i=l,...,s_{\epsilon }),\,w_{\epsilon }^{i}(x)\geqslant 0,\sum w_{\epsilon }^{i}(x)=l}$ і з опуклості множини X випливає, що ${\displaystyle f(x)\in X}$. Таким чином, при будь-якому ε > 0 ми маємо однозначне неперервне відображення ${\displaystyle f_{\epsilon }:X\to X}$. По теоремі Брауера про нерухому точку у цього відображення є нерухома точка ${\displaystyle x_{\epsilon }}$.

Побудуємо такі ж функції і точки для послідовності додатних чисел ${\displaystyle \{\epsilon _{\nu }\}}$ для якої ${\displaystyle \lim \epsilon _{\nu }=0.}$ Оскільки множина X є компактною відповідна послідовність нерухомих точок ${\displaystyle \{x_{\epsilon _{\nu }}\}}$(для яких ${\displaystyle x_{\epsilon _{\nu }}=f(x_{\epsilon _{\nu }}),}$ містить підпослідовність, що збігається до деякої границі ${\displaystyle {\bar {x}}}$. Тому можна вважати, що обрана послідовність ${\displaystyle \{\epsilon _{\nu }\}}$ додатних чисел задовольняє умовам

1. ${\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }\epsilon _{\nu }=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }x^{\epsilon _{\nu }}={\bar {x}},}$
3. ${\displaystyle x_{\epsilon _{\nu }}=f(x_{\epsilon _{\nu }}).}$

Тоді ${\displaystyle {\bar {x}}}$ є нерухомою точкою відображення f. Для доведення цього розглянемо множину ${\displaystyle O_{\delta }=f({\bar {x}})+U_{\delta }}$, де ${\displaystyle U_{\delta }=\{u|\lVert u\rVert <\delta \}}$ при ${\displaystyle \delta >0}$. Якщо при будь-якому ${\displaystyle \delta >0}$ виявиться, що ${\displaystyle {\bar {x}}\in O_{\delta }}$, то звідси буде випливати, що ${\displaystyle {\bar {x}}\in f({\bar {x}})}$ через замкнутість множини ${\displaystyle f({\bar {x}})}$ в X.

Множина ${\displaystyle O_{\delta }}$ є відкритою множиною, що містить множину ${\displaystyle f({\bar {x}}),}$ оскільки вона є об'єднанням відкритих множин ${\displaystyle O_{\delta }=\bigcup _{x\in f({\bar {x}})}(x+U_{\delta }).}$ Також вона є опуклою оскільки вона є векторною сумою двох опуклих множин ${\displaystyle f({\bar {x}})}$ і ${\displaystyle U_{\delta }.}$

Відображення f є напівнеперервним зверху і тому з того, що ${\displaystyle O_{\delta }}$ — відкрита множина, що включає ${\displaystyle f({\bar {x}})}$ випливає, що існує ε-окіл V_ε точки ${\displaystyle {\bar {x}}}$, для якого ${\displaystyle f(V_{\epsilon })\subset O_{\delta }.}$ Зважаючи на властивості послідовності ${\displaystyle \{\epsilon _{\nu }\}}$ для досить великих ${\displaystyle \nu }$ маємо ${\displaystyle \epsilon _{\nu }<\epsilon /2}$ і ${\displaystyle x_{\epsilon _{\nu }}\in V_{\epsilon /2}}$. При цьому виконання нерівності ${\displaystyle w_{\epsilon _{\nu }}^{i}(x_{\epsilon _{\nu }})>0}$ означає, що

${\displaystyle \lVert x_{\epsilon _{\nu }}-a_{\epsilon _{\nu }}^{i}\rVert <\epsilon _{\nu }<\epsilon /2}$

і

${\displaystyle \lVert {\bar {x}}-a_{\epsilon _{\nu }}^{i}\rVert \leqslant \lVert {\bar {x}}-x_{\epsilon _{\nu }}\rVert +\lVert x_{\epsilon _{\nu }}-a_{\epsilon _{\nu }}^{i}\rVert <\epsilon .}$

В результаті при всіх досить великих ${\displaystyle \nu }$ маємо ${\displaystyle a_{\epsilon _{\nu }}^{i}\in V_{\epsilon }}$ для кожного i для якого ${\displaystyle w_{\epsilon _{\nu }}^{i}(x_{\epsilon _{\nu }})>0.}$ Звідси випливає що

${\displaystyle b_{\epsilon _{\nu }}^{i}\in f(a_{\epsilon _{\nu }}^{i})\subset f(V_{\epsilon })\subset O_{\delta }}$

Тоді враховуючи що ${\displaystyle x_{\epsilon _{\nu }}=\sum w_{\epsilon _{\nu }}^{i}(x_{\epsilon _{\nu }})b_{\epsilon _{\nu }}^{i}.}$ точка ${\displaystyle x_{\epsilon _{\nu }}}$ при досить великих ${\displaystyle \nu }$ є опуклою лінійною комбінацією тільки тих точок ${\displaystyle b_{\epsilon _{\nu }}^{i},}$ які належать ${\displaystyle O_{\delta }}$ і оскільки множина є опуклою, то ${\displaystyle x_{\epsilon _{\nu }}\in O_{\delta }.}$ Спрямовуючи ${\displaystyle \nu }$ до нескінченності отримуємо, що ${\displaystyle {\bar {x}}\in {\overline {O_{\delta }}}.}$ Звідси ${\displaystyle {\bar {x}}\in O_{\delta }}$ при будь-якому ${\displaystyle \delta >0,}$ і з наведених вище аргументів, ${\displaystyle {\bar {x}}\in f({\bar {x}}).}$

• Рівновага Неша
• Теорема Брауера про нерухому точку

• Х. Никайдо, Выпуклые структуры и математическая экономика. — Москва: Мир, 1972.
• Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521265645.