Теорема Веддерберна — Артіна

(1) -> (2). Нехай ${\displaystyle Rc}$ — мінімальний лівий ідеал ${\displaystyle R}$. Зважаючи на простоту ${\displaystyle R}$ маємо ${\displaystyle R=RcR=\sum Rca_{i}}$ де ${\displaystyle a_{i}}$ є елементами ${\displaystyle R}$. Лівий ідеал ${\displaystyle Rca_{i}}$ є образом ${\displaystyle Rc}$ при гомоморфному відображенні ${\displaystyle rc\to rca_{i}}$ тому, враховуючи мінімальність ідеалу ${\displaystyle Rc}$, або ${\displaystyle Rca_{i}=0}$ або ${\displaystyle Rca_{i}}$ є ізоморфним ${\displaystyle Rc.}$ Тому ${\displaystyle R}$ є сумою лівих ідеалів ізоморфних ${\displaystyle Rc}$ і тому з властивостей напівпростих модулів ${\displaystyle R}$ є прямою сумою таких модулів, тобто є напівпростим. Крім того, будь-який простий лівий ${\displaystyle R}$-модуль є ізоморфний як модуль фактору ${\displaystyle R}$ по лівому ідеалу, тож він є ізоморфним мінімальному лівому ідеалу.

(2) -> (3). оскільки ${\displaystyle R}$ є скінченнопородженим (елементом 1) лівим ${\displaystyle R}$-модулем, і напівпростим згідно припущення, воно є прямою сумою скінченної кількості мінімальних лівих ідеалів, які є ізоморфними між собою. Візьмемо мінімальний лівий ідеал ${\displaystyle U}$ і припустимо що ${\displaystyle R=U^{n}}$. Згідно леми Шура, ${\displaystyle D=\operatorname {End} _{R}(U)}$ є тілом; Тоді ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U^{n})\cong M_{n}(D)}$. Також ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\cong R}$ оскільки для довільного такого гомоморфізму ${\displaystyle \phi (r)=\phi (r\cdot 1)=r\cdot \phi (1)}$, тобто ендоморфізм є множенням на елемент ${\displaystyle \phi (1)}$. Разом ${\displaystyle R=M_{n}(D)}$, що і треба було довести.

Тут ${\displaystyle n}$ є однозначно визначеним як довжиною композиційного ряду підмодулів ${\displaystyle R}$ як лівого ${\displaystyle R}$-модуля, а ${\displaystyle D}$ є єдиним з точністю до ізоморфізму як кільце ендоморфізмів єдиного типу простих лівих ${\displaystyle R}$-модулів.

(3) => (1). ${\displaystyle D_{n}=M_{n}(D)}$ має скінченну розмірність як лівий ${\displaystyle D}$-векторний простір; кожний лівий ідеал є підпростором, тому умова спадних ланцюгів ідеалів виконується і ${\displaystyle D_{n}}$ є лівим артіновим модулем. Щоб довести, що ${\displaystyle D_{n}}$ є простим модулем, візьмемо будь-який ${\displaystyle a=(a_{ij})\neq 0}$, наприклад ${\displaystyle a_{rs}\neq 0}$. Тоді ${\displaystyle e_{ir}ae_{sj}a_{rs}^{-l}=e_{ij}}$, тож ідеал породжений ${\displaystyle a}$ містить всі ${\displaystyle e_{ij}}$ і тому є рівним ${\displaystyle D_{n}}$. Це показує, що ${\displaystyle D_{n}}$ є простим кільцем.

Оскільки умова (3) є симетричною щодо лівих 1 правих ідеалів , (1) і (2) також виконуються для правих ідеалів.

Оскільки ${\displaystyle R}$ є лівим напівпростим і є скінченнопородженим як лівий ідеал, то ${\displaystyle R=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r}}$ де ${\displaystyle H_{i}\cong I_{i}^{n_{i}}}$ і ${\displaystyle I_{i}}$ є мінімальними лівими ідеалами, що є неізоморфними для різних індексів. Згідно леми Шура, ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}I_{i}=D_{i}}$ є тілом, а ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(I_{i},I_{j})=0,\;i\neq j}$. Тоді також ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(H_{i})=M_{n_{i}}(D_{i})}$. Оскільки всі ${\displaystyle H_{i}}$ є сумами мінімальних лівих ідеалів з властивостей напівпростих модулів маємо ${\displaystyle R\cong \operatorname {End} _{R}(R)\cong \prod M_{n_{i}}(D_{i})}$. Тут ${\displaystyle n}$, і тип ізоморфізму ${\displaystyle D}$, визначаються типом компоненти ${\displaystyle H_{i}}$.

Навпаки, для будь-якого тіла ${\displaystyle D}$ і довільного ${\displaystyle n\geqslant 1}$, маємо ${\displaystyle M_{n}(D)\cong I^{n}}$, де ${\displaystyle I}$ є мінімальним лівим ${\displaystyle D}$-модулем, представленим, наприклад, стовпцем матричного кільця ${\displaystyle M_{n}(D)}$. Тож ${\displaystyle \prod M_{n_{i}}(D)\cong \oplus I^{n_{i}}}$ є лівим напівпростим. Воно має скінченну довжину композиційного ряду і тому є лівим артиновим. Зважаючи на симетрію матричного кільця воно є також правим напівпростим і правим артіновим.