Модуль над кільцем

Модуль над кільцемалгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.

Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні серед всіх цілих чисел.

Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.

Визначення

Коли задано кільце , то-модулем називається абелева группа з додатковою операцією множення на елементи кільця ,

що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм

  • Підмодулем модуля називається підгрупа групи , замкнута відносно множення на елементи з .
  • Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою (), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
  • Гомоморфізмом -модулів та називається гомоморфізм груп , для якого виконується умова . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають .

Приклади

  • Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (-модуль).
  • Лінійний простір над полем є модулем над полем .
  • Лінійний простір — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень .

Історія

Найпростіші -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Див. також

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.