Модуль над кільцем
Модуль над кільцем — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:
- векторного простору (це модуль над полем);
- комутативної групи (це модуль над кільцем цілих чисел );
- ідеала кільця (це модуль, що є підкільцем).
Алгебричні структури |
---|
Групо-подібні
|
Кільце-подібні
|
Ґратко-подібні |
Алгебра-подібні
|
Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.
Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні серед всіх цілих чисел.
Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.
Визначення
Коли задано кільце , то-модулем називається абелева группа з додатковою операцією множення на елементи кільця ,
що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності
- ,
- ,
- ,
- .
Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:
- .
Підмодуль, ідеал та гомоморфізм
- Підмодулем модуля називається підгрупа групи , замкнута відносно множення на елементи з .
- Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою (), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
- Гомоморфізмом -модулів та називається гомоморфізм груп , для якого виконується умова . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають .
Приклади
- Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (-модуль).
- Лінійний простір над полем є модулем над полем .
- Лінійний простір — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень .
Історія
Найпростіші -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.
Див. також
Джерела
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)