Теорема Гана — Банаха

Для векторного простору X над полем дійсних чисел функція ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:

${\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)}$  для довільних ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{+}}$ та x ∈ X,

${\displaystyle f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)}$  для довільних x, y ∈ X.

Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо ${\displaystyle p\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ є сублінійною функцією, і ${\displaystyle \varphi \colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$ є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:

${\displaystyle \varphi (x)\leqslant p(x)\qquad \forall x\in Y}$

тоді існує продовження ${\displaystyle \psi \colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий, що

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in Y}$

і

${\displaystyle \psi (x)\leqslant p(x)\qquad \forall x\in X.}$

Спершу доведемо, що існує продовження в одному напрямку. Нехай ${\displaystyle z\in X\setminus Y}$. Розглянемо лінійний простір виду:

${\displaystyle Y_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in Y,\ a\in \mathbb {R} \right\}.}$

Продовження ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle Y_{z}}$ запишемо:

${\displaystyle \psi (y+az)\doteq \varphi (y)+a\psi (z),}$

де ${\displaystyle \psi (z)}$ — дійсне число, яке необхідно визначити.

Для довільних ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ і ${\displaystyle a,b>0}$ виконується:

${\displaystyle \varphi (ay_{1}+by_{2})=a\varphi (y_{1})+b\varphi (y_{2})=(a+b)\varphi \left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)\leqslant }$

${\displaystyle (a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)=}$

${\displaystyle (a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}(y_{1}-bz)+{\frac {b}{a+b}}(y_{2}+az)\right)\leqslant }$

${\displaystyle ap(y_{1}-bz)+bp(y_{2}+az).}$

Звідси

${\displaystyle a\left(\varphi (y_{1})-p(y_{1}-bz)\right)\leqslant b\left(-\varphi (y_{2})+p(y_{2}+az)\right)}$

Як наслідок

${\displaystyle {\frac {1}{b}}\left(-p(y_{1}-bz)+\varphi (y_{1})\right)\leqslant {\frac {1}{a}}\left(p(y_{2}+az)-\varphi (y_{2})\right)\quad \forall \ y_{1},y_{2}\in Y,\quad \forall a,b>0.}$

Визначимо ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ так:

${\displaystyle \sup _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{b}}\left[-p(y-bz)+\varphi (y)\right]\right\}\leqslant c\leqslant \inf _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[p(y+az)-\varphi (y)\right]\right\}.}$

Виконується рівність

${\displaystyle ac\leqslant p(y+az)-f(y)\quad \forall \ y\in Y,\quad \forall \ a\in \mathbb {R} }$.

Визначимо

${\displaystyle \psi (z)=c.}$

Для всіх ${\displaystyle y\in Y}$ і довільних ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ справджується нерівність:

${\displaystyle \psi (y+az)=\varphi (y)+ac\leqslant p(y+az),}$

тому

${\displaystyle \psi (x)\leqslant p(x)\quad \forall \ x\in Y_{z}.}$

Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження, скориставшись щойно визначеною конструкцією.

• Якщо ${\displaystyle X}$ є нормованим простором, ${\displaystyle M}$ є його підпростором і ${\displaystyle x^{*}\in M^{*}}$ є деяким функціоналом на ${\displaystyle M}$, тоді існує ${\displaystyle y^{*}\in X^{*}}$ такий ,що:

${\displaystyle y^{*}|_{M}=x^{*}}$ і також ${\displaystyle \|x^{*}\|=\|y^{*}\|}$.

• Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значення в цих точках.

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, ISBN 0387709134