Теорема Гана — Банаха

Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір.

Формулювання

Для векторного простору X над полем дійсних чисел функція називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:

  для довільних та x  X,
  для довільних x, y  X.

Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо є сублінійною функцією, і є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:

тоді існує продовження для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий, що

і

Доведення

Спершу доведемо, що існує продовження в одному напрямку. Нехай . Розглянемо лінійний простір виду:

Продовження на запишемо:

де  — дійсне число, яке необхідно визначити.

Для довільних і виконується:

Звідси

Як наслідок

Визначимо так:

Виконується рівність

.

Визначимо

Для всіх і довільних справджується нерівність:

тому

Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження, скориставшись щойно визначеною конструкцією.

Наслідки

  • Якщо є нормованим простором, є його підпростором і є деяким функціоналом на , тоді існує такий ,що:
і також .
  • Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значення в цих точках.

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.