Теорема Діріхле про арифметичні прогресії

Нехай ${\displaystyle l,k>0}$ — цілі числа, і ${\displaystyle (l,k)=1}$ (тобто ${\displaystyle l,k}$ є взаємно простими).

Тоді існує нескінченна кількість простих чисел ${\displaystyle p}$ таких, що ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$.

З цього випливає, що кожна нескінченна арифметична прогресія, перший член і різниця якої — натуральні взаємно прості числа, містить нескінченну кількість простих чисел.

Теорема в даному формулюванні була доведена Діріхле аналітичними засобами у 1837 році. Надалі були знайдені доведення теореми елементарними методами[1]. Різні такі доведення знайшли Мертенс, Сельберг і Цассенхаус.

Нижче подані приклади кількох арифметичних прогресій і найменших простих чисел у цих прогресіях

При розгляді простих ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$ досить часто виявляється, що їх множина має багато властивостей множини всіх простих чисел. Існує чимало теорем і гіпотез, що розглядають тільки прості числа з певного класу лишків або співвідношення множин простих чисел з різних класів лишків.

Наприклад, крім основного твердження теореми Діріхле довів у 1839 році, що для будь-яких фіксованих натуральних взаємно простих чисел ${\displaystyle l}$ і ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle \lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}={\frac {1}{\varphi (k)}},}$

де сума є по всіх простих числах ${\displaystyle p}$ з умовою ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$, а ${\displaystyle \varphi }$ — функція Ейлера.

Це співвідношення можна інтерпретувати як закон рівномірного розподілу простих чисел за класами лишків ${\displaystyle \mod k}$, оскільки

${\displaystyle \lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}=1,}$

якщо сума є по всіх простих числах.

Відомо, що для будь-яких взаємно простих чисел ${\displaystyle l}$ і ${\displaystyle k}$ ряд ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$, де сума є по простих ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$ є розбіжним.

• Характер Діріхле

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976 ISBN 978-0-387-90163-3
• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)