Характер Діріхле

Характер (або числовой характер, або характер Діріхле) по модулю (де — ціле число) — комплекснозначна періодична функція на множині цілих чисел. Характери Діріхле мають важливі застосування у теорії чисел зокрема при означенні L-функції Діріхле .

Означення

Аксіоматичне означення

Характером Діріхле по модулю називається функція із множини цілих чисел у множину комплексних чисел , що задовольняє умови:

  • .
  • для будь-яких і (мультиплікативність).
  • Існує натуральне число, таке що для будь-якого (періодичність).

Якщо деяка функція цілочислового аргументу є періодичною із періодом то вона є також періодичною із періодом . Відповідно існує найменше додатне число, що є періодом функції. Воно називається основним модулем характеру Діріхле. Всі періоди розклад яких на прості множники містить, ті ж прості числа, що містяться у основному періоді називаються модулями характеру Діріхле (і тоді функція є характером Діріхле по цьому модулю).

За допомогою класів лишків

Нехай — множина оборотних елементів кільця лишків за модулем . Елементами є класи лишків де числа є взаємно простими з . є комутативною групою порядок якої дорівнює значенню функції Ейлера . Характером Діріхле називається гомоморфізм груп:

.

Еквівалентність означень

Для гомоморфізму груп можна ввести функцію , як

Тоді , тобто функція не є рівною нулю для всіх значень. Також функція є періодичною оскільки згідно означення вона приймає однакові значення на всіх елементах будь-якого класу лишків. З властивостей гомоморфізмів груп і класів лишків також випливає мультиплікативність функції. Тобто кожен характер Діріхле у другому означенні породжує характер Діріхле у першому означенні.

Навпаки, якщо — характер Діріхле згідно першого означення і — його основний модуль то згідно періодичності він визначає відображення на класах лишків за модулем . Також якщо для деякого то і тому . Із мультиплікативності випливає, що індукована функція на класах лишків за модулем є теж мультиплікативною.

Для того щоб довести, що кожен характер Діріхле у першому означенні породжується характером Діріхле у другому означенні достатньо довести, що якщо і є взаємно простими числами і якщо і не є взаємно простими.

Нехай . Тоді існують такі два цілих числа і , що . Отже, враховуючи періодичність і тому .

Нехай тепер і . Оскільки , то існує таке ціле число , що , бо в іншому випадку було б періодом . Але

Тому і з мультиплікативності .

Властивості

  • Як було показано при доведенні еквівалентності означень і якщо і не є взаємно простими, де — основний модуль. Якщо ж і є взаємно простими, то згідно теореми Ейлера , де функція Ейлера і тому також , тобто ненульові значення характера Діріхле модуля є коренями з одиниці степеня .
  • Нехай — характери Діріхле з основними модулями відповідно. Тоді добуток є характером Діріхле основний модуль якого є дільником найменшого спільного кратного чисел .
  • Нехай — характер Діріхле з основним модулем , де всі числа — попарно взаємно прості. Тоді існує єдина система характерів основні модулі яких рівні і також .
  • Існує різних характерів по модулю . Вони утворюють групу порядку , ізоморфну мультиплікативній підгрупі оборотних елементів кільця лишків за модулем .

Приклади

  • Функція є характером, що називається тривіальним характером.
  • Характер, , називається головним характером по модулю . В групі характерів по модулю він є одиничним елементом.
  • Нехай непарне натуральне число. Введемо функцію:
,
де символ Якобі. Ця функція буде характером Діріхле за модулем .
  • Нехай — непарне просте число, — натуральне число, первісний корінь по модулю і якщо то , тобто найменше натуральне число для якого . Нарешті, нехай число — будь-який корінь рівняння , де . Визначимо функцію умовами:
Ця функція є характером по модулю , де .
  • Нехай натуральне число і — його розклад на прості множники. Нехай , якщо або і , якщо . Нехай також і — індекси, як вище (відповідно по модулях ), а — найменші натуральні числа для яких . Якщо — корені з одиниці степенів , то функція
є характером Діріхле за модулем . Вибираючи різні корені з одиниці одержуються усі характери Діріхле за модулем .

Основні співвідношення

;
, де сума є за всіма характерами.
Відношення ортогональності:
Відповідно при інтерпретації характера Діріхле як гомоморфізму груп , характери Діріхле утворюють ортогональну базу усіх характерів групи .

Примітивний характер

Нехай — характер Діріхле за модулем . Найменший дільник числа такий, що для всіх цілих чисел таких що , і виконується називається провідним модулем або кондуктором характера.

Якщо кондуктор характера Діріхле за модулем є рівним , то характер називається примітивним.

Якщо — непримітивний характер кондуктора , то існує примітивний характер з модулем , що породжує (індукує) характер , тобто:

Характер є примітивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа , що ділить і , існує ціле число , що задовольняє умови:

.

У термінах гомоморфізмів груп характер називається примітивним, якщо не існує власного дільника числа , характера і гомоморфізму для яких

Див. також

Література

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — Москва: УРСС, 2004.
  • Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.