Теорема Коші — Адамара

Нехай маємо деякий степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

і ${\displaystyle R}$ — його радіус збіжності.

Тоді справедлива формула:

${\displaystyle {1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}}$

де ${\displaystyle \varlimsup \limits }$ позначає верхню границю.

Зокрема якщо ${\displaystyle {\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}=0}$ то ряд є збіжним для всіх комплексних чисел, якщо ж ${\displaystyle {\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}=\infty }$ то ряд є збіжним лише в нулі.

Аналог теореми справедливий і для функцій дійсної змінної.

Доведемо, що степеневий ряд ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ збігається для ${\displaystyle |z|<R}$ і розбігається для ${\displaystyle |z|>R}$. Тут ${\displaystyle R}$ визначене через границю в твердженні теореми.

Нехай ${\displaystyle |z|<R}$ і позначимо ${\displaystyle t=1/R}$ Тоді для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$, існує лише скінченна підмножина чисел ${\displaystyle n}$ для яких ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\geq t+\varepsilon }$. Отож ${\displaystyle |a_{n}|\leq (t+\varepsilon )^{n}}$ для всіх ${\displaystyle n}$ окрім деякої скінченної кількості, тому ряд ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ збігається якщо ${\displaystyle |z|<1/(t+\varepsilon )}$.

Навпаки для ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ${\displaystyle |c_{n}|\geq (t-\varepsilon )^{n}}$ для нескінченної кількості ${\displaystyle c_{n}}$, тож якщо ${\displaystyle |z|=1/(t-\varepsilon )>R}$, ряд не може збігатися адже його члени не прямують до 0. Дане доведення справедливе як для додатного скінченного радіуса збіжності, так і для нульового і нескінченного.

• Верхня і нижня границі
• Степеневий ряд

• Weisstein, Eric W. Cauchy-Hadamard theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.