Верхня і нижня границі

Нижню границю послідовності можна визначити:

${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$

або

${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$

Подібним чином верхня границя послідовності (x_n) визначається

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$

або

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$

Нехай дано дійсну функцію ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} ,}$ де ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ,}$ і ξ — граничну точку I, тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:

${\displaystyle \varlimsup _{x\to \xi }f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi -a,\xi +a)\cap I),}$

${\displaystyle \varliminf _{x\to \xi }f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi -a,\xi +a)\cap I).}$

Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:

${\displaystyle \varlimsup _{x\to \xi +}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi ,\xi +a)\cap I),}$

${\displaystyle \varliminf _{x\to \xi +}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi ,\xi +a)\cap I),}$

${\displaystyle \varlimsup _{x\to \xi -}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi -a,\xi )\cap I),}$

${\displaystyle \varliminf _{x\to \xi -}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi -a,\xi )\cap I).}$

Нехай Ω — деяка множина, (A_n) — послідовність її підмножин. Тоді верхня і нижня границі цієї послідовності визначаються за формулами:

${\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)}$

і

${\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right).}$