Теорема Марцинкевича

Теорема Марцинкевича — твердження в теорії ймовірностей.

Нехай $\{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — послідовність комплексних чисел, яка не має скінченної граничної точки. Показником збіжності послідовності $\{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ називається точна нижня межа тих чисел $\lambda >0$ , для яких збігається ряд

$\sum _{a_{k}\neq 0}|a_{k}|^{-\lambda }$

(якщо цей ряд розбігається при будь-якому $\lambda >0$ , показником збіжності вважають $\infty$ ). Відомо, що показник збіжності коренів цілої функції не перевищує порядок цілої функції.

Формулювання теореми

Нехай $\varphi (t)$ — характеристична функція. Припустимо, що $\varphi (t)$ — ціла функція скінченного порядку $\rho$ , показник збіжності послідовності коренів якої дорівнює $\rho _{1}$ . Якщо $\rho _{1}<\rho$ , то $\rho \leq 2.$

Наслідок

Нехай $\varphi (t)$ — характеристична функція виду

$\varphi (t)=e^{P(t)},$

де $P(t)$ — многочлен. Тоді $P(t)=ist-\sigma t^{2},$ де $s\in \mathbb {R}$ , $\sigma \geq 0,$ тобто $\varphi (t)$ — характеристична функція нормального розподілу, можливо виродженого.

Іноді саме цей наслідок і називають теоремою Марцинкевича. Теорема Марцинкевича часто використовується при характеризації нормального розподілу.

Література

J. Marcinkiewicz. Sur une propriéte de la loi de Gauss. Math. Zeitschr. 44, (1938), 612—618.
Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.