Теорема Планшереля

Якщо комплекснозначна функція f, визначена на множині дійсних чисел належить просторам ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ і ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, тоді її перетворення Фур'є, яке є комплекснозначною функцією дійсної змінної, що визначається як:

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$

теж є функцією із ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. До того ж виконується формула Планшереля — Персеваля:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$

де ${\displaystyle f,g}$ є двома функціями, що задовольняють вказані умови, а ${\displaystyle {\widehat {f}},{\widehat {g}}}$ — їх перетвореннями Фур'є.

Зокрема:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }$.

Одержані таким чином функції ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ утворюють щільну підмножину у ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ і відображення ${\displaystyle f\to {\widehat {f}}}$ із простору функцій ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ можна продовжити до унітарного оператора на просторі ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$.

У випадку коли ${\displaystyle f,g}$ належать деякому хорошому класу функцій, наприклад є функціями Шварца, можна дати просте доведення формули за допомогою оберненого перетворення Фур'є. У цьому випадку

${\displaystyle g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {g}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}\,d\xi }$

і з властивостей комплексного спряження також

${\displaystyle {\overline {g(x)}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi .}$

Тоді

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi \right)dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}e^{-2\pi i\xi x}\,dxd\xi \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx\right){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}d\xi \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .\end{aligned}}}$

• Перетворення Фур'є
• Теорема Персеваля