Простір Lp

Визначення 1. Нехай задано простір з мірою ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$. Зафіксуємо ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ і розглянемо множину вимірних функцій, визначених на цьому просторі, таких що

${\displaystyle \int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty .}$

Позначимо цю множину ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ або просто ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$.

Теорема 1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ є лінійним простором. Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега, а також нерівності Мінковського.

На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.

Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою, бо якщо ${\displaystyle f(x)=0\,}$ майже всюди, то ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$, що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.

Визначення 2. Введемо на ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ відношення еквівалентності:

${\displaystyle f\!\sim g}$, якщо ${\displaystyle f(x)=g(x)\,}$ майже всюди.

Це відношення розбиває простір ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}\,}$ на класи еквівалентності, причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.

Тоді на побудованому фактор-просторі (тобто множині класів еквівалентності) ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}/\sim }$ можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.

Визначення 3. Фактор-простір ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)}$ з побудованою на ньому нормою називається простором ${\displaystyle L^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ або просто ${\displaystyle L^{p}\,}$.

При ${\displaystyle 0<p<1\,}$, ${\displaystyle L_{p}\,}$ не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при ${\displaystyle 0<p<1\,}$ ${\displaystyle \forall f,g\in L_{p}(\Omega ):\{\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}\geq \{\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}+\{\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}}$), проте утворюють метричні простори.

Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику

${\displaystyle d(f,\;g)=\|f-g\|_{p},}$

а отже і поняття збіжності.

Визначення 3. Нехай є послідовність функцій ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}}$. Тоді ця послідовність збігається до функції ${\displaystyle f\in L^{p}}$, якщо

${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{p}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty .}$

Теорема 2. Простір ${\displaystyle L^{p}\,}$ є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність ${\displaystyle L^{p}\,}$ збігається до елементу цього ж простору. Таким чином, ${\displaystyle L^{p}\,}$ — банахів простір.

У випадку ${\displaystyle p=2\,}$ введена вище норма породжується скалярним добутком. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність, проекція і ін.

Визначення 4. Введемо на просторі ${\displaystyle L^{2}}$ скалярний добуток таким чином:

${\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\mu (dx)}$

у випадку, якщо дані функції комплекснозначні, або

${\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\mu (dx),}$

якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle }},}$

тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого ${\displaystyle L^{p}\,}$, одержуємо:

Теорема 3. Простір ${\displaystyle L^{2}\,}$ — гільбертів.

Розглянемо простір ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|,}$

одержуємо банахів простір.

Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:

${\displaystyle f_{n}\to f}$ у ${\displaystyle L^{\infty }}$, якщо ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$.

• Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі ${\displaystyle L^{p}\,}$. Нехай ${\displaystyle f_{n}(x)=n^{1/p}\,}$ при ${\displaystyle x\in (0,1/n]}$ і ${\displaystyle f_{n}(x)=0\,}$ при ${\displaystyle x\in (1/n,1]}$, ${\displaystyle f_{n}\in L^{p}}$. Тоді ${\displaystyle f_{n}\to 0}$ майже всюди. Але ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1}$. Зворотне твердження також невірне.
• Якщо ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{p}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$, то існує підпослідовність ${\displaystyle f_{n_{k}}}$, така що ${\displaystyle f_{n_{k}}\to f}$ майже всюди.
• ${\displaystyle L^{p}\,}$ функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай ${\displaystyle L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)}$ — підмножина ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)}$, що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді ${\displaystyle L_{C^{\infty }}^{p}}$ всюди щільна в ${\displaystyle L^{p}}$.
• ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)}$ — сепарабельний простір.
• Якщо ${\displaystyle \mu \,}$ — скінченна міра, наприклад, ймовірність, і ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty }$, то ${\displaystyle L^{q}\subset L^{p}}$. Зокрема ${\displaystyle L^{2}\subset L^{1}}$, тобто випадкова величина зі скінченним другим моментом має скінченний перший момент.

Нехай ${\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }}$ є простором спряженим до ${\displaystyle L^{p}\,}$ (так званий копростір). За визначенням, елемент ${\displaystyle g\in \left(L^{p}\right)^{\star }}$ є лінійним функціоналом на ${\displaystyle L^{p}\,}$.

Теорема 4. Якщо ${\displaystyle 1<p<\infty }$, то ${\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }}$ ізоморфний ${\displaystyle L^{q}\,}$ (пишемо ${\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}}$), де ${\displaystyle 1/p+1/q=1\,}$. Будь-який лінійний функціонал на ${\displaystyle L^{p}\,}$ має вигляд:

${\displaystyle g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),}$

де ${\displaystyle {\tilde {g}}(x)\in L^{q}}$.

Через симетрію рівняння ${\displaystyle 1/p+1/q=1\,}$ сам простір ${\displaystyle L^{p}\,}$ є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до ${\displaystyle L^{q}\,}$, а отже:

${\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.}$

Цей результат справедливий і для випадку ${\displaystyle p=1\,}$, тобто ${\displaystyle \left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }}$. Проте ${\displaystyle \left(L^{\infty }\right)^{\star }\not \cong L^{1}}$ і, зокрема ${\displaystyle \left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}}$.

Нехай ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)}$, де ${\displaystyle m\,}$ — зліченна міра на ${\displaystyle \mathbb {N} }$, тобто ${\displaystyle m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N} }$. Тоді якщо ${\displaystyle p<\infty }$, то й простір ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)}$ є множиною послідовностей ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, таких що

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty .}$

Відповідно, норма на цьому просторі задається

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Одержаний нормований простір позначається ${\displaystyle l^{p}\,}$.

Якщо ${\displaystyle p=\infty }$, то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|.}$

Одержаний нормований простір позначається ${\displaystyle l^{\infty }}$. Він є прикладом несепарабельного простору.

Як і в загальному випадку, поклавши ${\displaystyle p=2\,}$, ми одержуємо гільбертів простір ${\displaystyle l^{2}\,}$, норма якого породжена скалярним добутком

${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}},}$

якщо послідовності комплекснозначні, і

${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n}},}$

якщо вони дійсні.

Простір, дуальний ${\displaystyle l^{p}\,}$, де ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ ізоморфний ${\displaystyle l^{q}\,}$, ${\displaystyle 1/p+1/q=1\,}$.

• Простір Гарді

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.