Теорема Персеваля

Нехай ${\displaystyle A(x)}$ і ${\displaystyle B(x)}$ — дві комплекснозначні функції на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ з періодом ${\displaystyle 2\pi }$, що є квадратично-інтегрованими (відносно міри Лебега) на інтервалах довжини періоду, з рядами Фур'є

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\rm {e}}^{inx}}$

та

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}{\rm {e}}^{inx}}$

відповідно. Тоді

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,{\rm {d}}x,}$

де ${\displaystyle i}$ — уявна одиниця, а горизонтальні риски позначають комплесну спряженість.

У загальному випадку, для абелевої локально компактної групи ${\displaystyle G}$ з дуальною групою Понтрягіна ${\displaystyle G^{\wedge }}$ теорема Парсеваля стверджує, що перетворення Понтрягіна-Фур'є є унітарним оператором між просторами Гільберта ${\displaystyle L^{2}(G)}$ та ${\displaystyle L^{2}(G^{\wedge })}$ (з інтегруванням по відношенню до належним чином відмасштабовуваної міри Хаарa для двох груп). Якщо ${\displaystyle G}$ — одиничне коло ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle G^{\wedge }}$ — цілі числа, то це відповідає випадку про який говорилося вище. Якщо ${\displaystyle G}$ — дійсна пряма ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle G^{\wedge }}$ — також ${\displaystyle \mathbb {R} }$, тоді унітарне перетворення — це перетворення Фур'є на дійсній прямій. Якщо ${\displaystyle G}$ — циклічна група ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{n}}$, то вона знову самодуальна, а перетворення Понтрягіна-Фур'є — це те, що називають дискретним перетворенням Фур'є у прикладних застосуваннях.

Теорема Парсеваля також може бути сформульована наступним чином: нехай функція ${\displaystyle f(x)}$ є квадратично-інтегрованою на відрізку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ (тобто функції ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle f^{2}(x)}$ інтегровні на цьому відрізку) та має наступний розклад у ряд Фур'є:

${\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).}$

Тоді[4][5][6]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).}$

У фізиці та техніці теорема Парсеваля часто записується як

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f,}$

де ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ — неперервне перетворення Фур'є (в нормалізованій, унітарній формі) функції ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ — частота в радіанах за секунду.

Інтерпретація цієї форми теореми полягає в тому, що повна енергія сигналу може бути обчислена шляхом підсумовування енергії за часовою вибіркою або енергії його спектру за частотою.

Для сигналів дискретних у часі теорема набуває вигляду:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi ,}$

де ${\displaystyle X_{2\pi }}$ — перетворення Фур'є з дискретним часом для сигналу ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \phi }$ — кутова частота (наприклад, в радіанах) сигналу ${\displaystyle x}$.

Навпаки, для дискретного перетворення Фур'є співвідношення набуває вигляду:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2},}$

де ${\displaystyle X[k]}$ — дискретне перетворення Фур'є для сигналу ${\displaystyle x[n]}$, обидва довжини ${\displaystyle N}$.

Теорема Парсеваля тісно пов'язана з іншими математичними результатами, що використовують унітарні перетворення:

• Рівність Парсеваля
• Теорема Планшереля
• Теорема Вінера — Хінчіна — Колмогорова
• Нерівність Бесселя
• Ряд Фур'є

1. Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806).
2. Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here.
3. Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.
4. Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. с. 439.
5. Advanced Calculus (вид. 4th). Reading, MA: Addison Wesley. 1991. ISBN 0-201-57888-3.
6. Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. с. 119.