Теорема Рауса

Теорема Рауса визначає відношення між площами даного трикутника і трикутника, утвореного трьома попарно перетинними чевіанами. Теорема стверджує, що якщо в трикутнику $ABC$ точки $D$ , $E$ і $F$ лежать на сторонах $BC$ , $CA$ і $AB$ відповідно, то, якщо позначити ${\tfrac {CD}{BD}}$ $=x$ , ${\tfrac {AE}{CE}}$ $=y$ і ${\tfrac {BF}{AF}}$ $=z$ , орієнтована площа трикутника, утвореного чевіанами $AD$ , $BE$ і $CF$ відносно площі трикутника $ABC$ виражається співвідношенням

{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}

Теорему довів Едвард Раус на 82 сторінці його Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples 1896 року. В окремому випадку, $x=y=z=2$ теорема перетворюється на відому теорему про одну сьому площі трикутника. В разі $x=y=z=1$ медіани перетинаються в центроїді.

Доведення

Нехай площа трикутника $ABC$ дорівнює $1$ . Для трикутника $ABD$ і лінії $FRC$ , за теоремою Менелая, отримаємо:

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1

Тоді ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ . Тому площа трикутника $ARC$ дорівнює

S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}

Аналогічно, отримуємо: $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ і $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}$ .

Таким чином, площа трикутника $PQR$ дорівнює:

\displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}

=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}

={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.

Посилання

Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh's theorem», Crux Mathematicorum 7: 199—203.
HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219—220, 2nd edition, Wiley, New York.
JS Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh's theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37-40
Jay Warendorff. Routh 's Theorem The Wolfram Demonstrations Project .
Weisstein, Eric W. Routh's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Routh's Theorem by Cross Products — MathPages
Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.