Чевіана

Чевіа́на — будь-який відрізок, що сполучає вершину трикутника та одну з точок на протилежній їй стороні. Частковими випадками є медіана, симедіана, бісектриса та висота. Назва походить від імені італійського інженера Джованні Чеви, який 1678 року сформулював і довів відому теорему Чеви, що також названа його іменем.

Довжина

Трикутник з чевіаною

Довжина чевіани визначається з теореми Стюарта. Довжина відрізка $d$ з малюнку визначається як:

\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).

Якщо чевіана є медіаною, маємо

\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})

або

\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}

оскільки

\,a=2m.

Якщо чевіана є бісектрисою, то формула перетворюється на

\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right).

Якщо чевіана є висотою:

\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}.

Ross Honsberger (1995) Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137, Mathematical Association of America. (англ.)
Vladimir Karapetoff (1929) "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle", American Mathematical Monthly 36:476–9. (англ.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.