Теорема Ґронвала про площу

Нехай голоморфна функція

${\displaystyle g(z)=z+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots }$

є однолистою на |z| > 1. Тоді

${\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}n|a_{n}|^{2}\leqslant 1.}$

При доведенні розглядається образ відображення ${\displaystyle g(z).}$ Доповнення до області значень цієї функції матиме невід'ємну площу, що і використовується при доведенні.

Для кола ${\displaystyle |z|=r,\ r>1}$ образом при дії функції g буде аналітична замкнута проста крива рівняння якої буде ${\displaystyle w=w(t)=g(re^{it}),}$ де ${\displaystyle z=re^{it}.}$Обчислимо площу А скінченної області, що обмежена цією кривою, вважаючи ${\displaystyle w=u+iv:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A=\int _{0}^{2\pi }uv'dt=&\int _{0}^{2\pi }{w(t)+{\bar {\omega }}(t) \over 2}\cdot {w'(t)-{\bar {\omega }}'(t) \over 2}dt=\\&\int _{0}^{2\pi }\left({re^{it}+re^{-it} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}e^{-int}+{\bar {a}}_{n}e^{int} \over 2r^{n}}\right)\cdot \left({re^{it}+re^{-it} \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{na_{n}e^{-int}+n{\bar {a}}_{n}e^{int} \over 2r^{n}}\right)dt\end{aligned}}}$

Здійснивши обчислення і помітивши, що в результаті інтегрування пропадуть всі члени, які містять ${\displaystyle e^{it}}$ в цілій степені, не рівній нулю отримаємо:

${\displaystyle A=\pi r^{2}-\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{r^{2n}}}}$ і враховуючи додатність цієї площі то також ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{r^{2n}}}<r^{2}.}$

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}}$є збіжним. В іншому випадку його сума була б нескінченною і тому для будь-якого M > 1 сума перших N доданків була б більшою за M для деякого N. Тоді обираючи r можна також зробити, що ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{r^{2n}}}>M,}$ що суперечить попереднім нерівностям, якщо також вибрати r для якого r² < M)

Переходячи до границі для ${\displaystyle r\to 1}$ остаточно ${\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}n|a_{n}|^{2}\leqslant 1.}$

• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
• Duren, P. L. (1983). Univalent functions. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 259. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90795-5..
• Gong, Sheng (2014) [1999]. The Bieberbach Conjecture. Studies in Advanced Mathematics 12 (вид. Second). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2742-0..
• Hayman, W. K. (1994) [1958]. Multivalent functions. Cambridge Tracts on Mathematics 110 (вид. Second). Cambridge: Cambridge University Press. с. xii+263. ISBN 978-0-521-46026-2. MR 1310776. Zbl 0904.30001.