Теорія пластин

В механіці суцільних середовищ, теорія пластин є математичним описом механіки плоских пластин, яка спирається на теорію балок. Пластини визначаються як площинні структурні елементи з невеликою товщиною порівняно з іншими вимірами.[1] Типове відношення товщини до ширини пластини є меншим, ніж 0.1. Теорія пластин використовує перевагу у геометрії для зведення повної задачі тривимірної механіки деформівного твердого тіла до двовимірної задачі. Метою теорії пластин є обчислення деформацій і напружень у навантаженій пластині.

Режим коливань затисненої квадратної пластини

З численних теорій пластин, які були розроблені в кінці 19 століття, дві широко прийняті і використовуються в машинобудуванні. Це

теорія пластин Кірхофа-Лове(класична теорія пластин)
теорія пластин Міндліна–Рейсснера (теорія зсуву пластин першого порядку)

Теорія тонких пластин Кірхгофа- Лове

Деформації тонкої пластини. Виділені переміщення серединної поверхні (червоним) і нормалі до серединної поверхні (синім)

Теорія Кірхгофа - Лове є розширенням теорії балки Ейлера–Бернуллі на тонкі пластини. Теорія була розроблена в 1888 році Лове[2] з використанням припущень, запропонованих Кірхгофом. Передбачається, що серединну поверхню площини можна використати для представленняя тривимірної пластини в двовимірному вигляді.

Такиі кінематичі припущення було прийнято у цій теорії:[3]

прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні залишаються прямими після деформації
прямі лінії, нормальні до серединної поверхні, залишаються нормальними до серединної поверхні після деформації
товщина пластини не змінюється впродовж деформації.

Переміщення

Гіпотеза Кірхгофа припускає, що зміщення має вигляд

{\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}

де $x_{1}$ і $x_{2}$ - декартові координати на серединній поверхні недеформованої пластини, $x_{3}$ координата, яка характеризує товщину, $u_{1}^{0},u_{2}^{0}$ - площинні переміщення серединної поверхні, $w^{0}$ - переміщення серединної поверхні в напрямку $x_{3}$ . Якщо $\varphi _{\alpha }$ кути повороту нормалі до серединної поверхні, тоді у теорії Кірхгофа–Лове $\varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.$

Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)

Співвідношення між деформаціями і переміщеннями

Для випадку, коли напруження в пластині нескінченно малі і повороти нормалі до серединної поверхні становить менше 10°, справедливими є такі співвідношення:

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}

Звідси лише ненульові деформації існують в напрямі площини.

Якщо кути повороту нормалі до серединної поверхні в діапазоні від 10° до 15°, співвідношення між деформаціями і переміщеннями можна апроксимувати використовуючи зсуву відносини можуть бути апроксимовані за допомогою напруження Кармана. Тоді кінематичні припущення теорії Кірхгофа-Лове приводить до таких співвідношень між деформаціями і переміщеннями

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}

Ця теорія є нелінійною через квадратичні умови співвідношень між деформаціями і переміщеннями.

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги для пластини можуть бути отримані з принципу віртуальної роботи. Для ситуації, коли деформації і обертання пластини незначні, рівняння рівноваги для ненавантаженої плити матимуть вигляд

{\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}

де значення напруження і моментів напругження визначаються як

N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}

і товщина плити $2h$ . Величина $\sigma _{\alpha \beta }$ .

Якщо існує зовнішнє навантаження на пластину $q(x)$ по нормалі до серединної поверхні і спрямоване у додатньому $x_{3}$ напрямі, принцип віртуальної роботи приводить до рівнянь рівноваги

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}$

Граничні умови

Граничні умови, які необхідні, щоб розв'язати рівняння рівноваги теорії пластин, можуть бути отримані з крайових умов принципу віртуальної роботи.

Для малих деформацій і малих оборотів, граничні умови

{\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}

Слід зауважити, що величина $n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }$ є ефективною поперечною силою.

Рівняння напруги–деформації

Рівняння напруженя–деформації для лінійної пружної пластини Кірхгофа задано як

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Оскільки і відсутні у рівннях рівноваги, передбачається, що ці величини не мають ніякого впливу на баланс системи і тому ними нехтують.

Зручніше працювати з результантами напруженя і моменту, які входять в рівняння рівноваги. Вони пов'язані з переміщеннями

{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}

і

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.

Поздовжня жорсткість - це величини

A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Жорсткість при згині визначається формулою

D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Ізотропна та однорідна пластина Кірхгофа

Для ізотропної та однорідної пластини, рівнння напружено–деформованого стану

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.

Моменти, що відповідають цим напруженням є

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}

Чистий згин

Переміщення і дорівнюють нулю при умові чистого згину. Для ізотропної, однорідної пластини при чистому згині основним рівнянням є

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.

Індексний запис

w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.

У прямих тензорних позначеннях, основним рівнянням є

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0\,.$

Поперечне навантаження

Для поперечно навантаженої пластини без осьових деформацій, що основне рівняння матиме вигляд

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}

де

D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.

Індексний запис

w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}

і прямий запис

\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.

У циліндричних координатах $(r,\theta ,z)$ , основне рівняння запишеться як

{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.

Ортотропна і однорідна пластина Кірхгофа

Для ортотропної пластини

{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.

Звідси,

{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}

і

{\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.

Поперечне навантаження

Основним рівняння ортотропної пластини Кірхгофа з розподіленим поперечним нвантаженням $q$ на одиницю площі є

D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q

де

{\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}

Динаміка тонких пластин Кірхгофа

Динамічної теорії пластин визначає поширення хвиль в пластинах, а вивчення стоячих хвиль і режимів вібрації.

Основні рівняння

Основними рівняннями динаміки пластин Кірхгофа-Лове є

{\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}

де, для пластини з густиною $\rho =\rho (x)$ ,

J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}

і

{\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}

На малюнках нижче показано коливання круглої пластини.

mode k = 0, p = 1
mode k = 1, p = 2

Ізотропні пластини

Основні рівняння істотно спрощені для ізотропних і однорідних пластин, у яких деформаціями у площині можна знехтувати:

D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.

де $D$ - жорсткість згину пластини. Для однорідної пластини товщиною $2h$ ,

D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.

У прямому записі

D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w^{0}=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}^{0}\,.

Теорія Міндліна–Рейсснера для товстих пластин

В теорії товстих плит, або теорії Раймонд Міндліна[4] і Ерік Рейснера, нормаль до серединної поверхні залишається прямою, але не обов'язково перпендикулярно до серединної поверхні. Якщо $\varphi _{1}$ і $\varphi _{2}$ - кути між серединною поверхнею і віссю $x_{3}$

\varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}

Тоді матиме місце гіпотеза Міндліна–Рейсснера:

{\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}

Залежність між деформаціями і переміщеннями

В залежності від кількості обертання нормалей пластини, дві різні апроксимації для напружень можуть бути отримані з основних кінематичних припущень.

Для малих деформацій і малих оборотів, відношення між деформаціями і переміщеннями для пластин Міндліна–Рейсснера запишеться у вигляді

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}

Поперечною деформацією, а отже, і напругою зсуву по товщині пластини не нехтують в цій теорії. Однак поперечна деформація є постійною по всій товщині плити. Це не може точним, оскільки поперечна напруга вважається параболічного навіть для пластин з простою геометрією. Для врахування неточності в поперечних деформаціях, а поперечний коригувальний коефіцієнт ( $\kappa$ ) застосовується так, що правильна кількість внутрішньої енергії передбачається теоретично. Тоді

\varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги мають трохи різні форми залежно від передбачуваної величини згину пластини. Для ситуації, коли деформації і обертання пластини є малими, рівняння рівноваги для пластини Міндліна–Рейсснера

{\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\,.\end{aligned}}

Рівнодіючі поперечні сил в наведених вище рівняннях визначаються як

Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.

Крайові умови

Граничні умови позначаються у термінах граничних умов принципу віртуальної роботи.

Якщо єдиною зовнішньою силою є вертикальна сила на верхній поверхні пластини, граничні умови

{\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}

Визначальні співвідношення

Рівняння напруження–деформації для лінійної пружної пластини Міндліна–Рейсснера можна подати у вигляді

{\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}

Оскільки $\sigma _{33}$ відсутнє у рівнянні рівноваги, неявно припускається, що воно не має ніякого впливу на баланс системи і ним можна знехтувати знехтувати. Це припущення називається припущенням щодо площинного напруження. Рівняння, що залишились для ортотропного матеріалу у матричній формі можна записати як

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Тоді,

{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}

і

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}

У термінах поперечного зміщення

{\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}

Поздовжня жорсткість - це величина

A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Жорсткість при згині визначається як

D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Ізотропної та однорідної пластини Міндліна–Рейсснера

Для рівномірно щільної, однорідної і ізотропної пластини, відношення напруги і деформації у площині пластини можна подати у вигляді

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.

де $E$ - модуль Юнга, $\nu$ - коефіцієнт Пуассона і $\varepsilon _{\alpha \beta }$ деформації у площині. Поперечні напруження і деформації по товщині пластини пов'язані рівняннями

\sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}

where $G=E/(2(1+\nu ))$ is the shear modulus.

Визначальні співвідношення

Співвідношення між результуючим напруженням і узагальненими переміщеннями для ізотропної пластини Міндліна–Рейсснера:

{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,

і

{\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.

Жорсткість при згині визначається як

D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.

Для плити товщиною $H$ , жорсткість при згині обчислюють за формулою

D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.

де H=Н/2

Основні рівняння

Якщо знехтувати розширенням пластини у площині, основні рівння приймуть вигляд

{\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}

У термінах узагальнених деформацій $w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}$ , три основні рівняння

{\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}

Граничні умови уздовж країв прямокутної пластини

{\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}

Теорія Рейсснера–Штайна для ізотропних консольних пластин

Загалом, точні розв'язки для консольної пластини з використанням теорії пластин використовуються і можуть бути взяті з літератури. Рейснер і Штайн[5] запропонували спрощену теорію для консольних пластин, що є поліпшенням у порівнянні з більш старими теоріями, як, наприклад, теорія пластин Сен-Венана.

Теорія Рейсснера-Штайна передбачає, що поперечний зсув можна подати у вигляді

w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.

Основні рівняння для пластини зводяться до звичайних диференціальних рівнянь:

{\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}\end{aligned}}

де

{\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}

В $x=0$ оскільки балка защемлена, граничні умови

w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.

Крайові умови у $x=a$

{\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}

де

{\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}

Derivation of Reissner–Stein cantilever plate equations

The strain energy of bending of a thin rectangular plate of uniform thickness

h

is given by

U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}D\left\{\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)^{2}+2(1-\nu )\left[\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\right\}{\text{d}}x{\text{d}}y

where $w$ is the transverse displacement, $a$ is the length, $b$ is the width, $\nu$ is the Poisson's ratio, $E$ is the Young's modulus, and

D={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu )}}.

The potential energy of transverse loads $q(x,y)$ (per unit length) is

P_{q}=\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,w(x,y)\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.

The potential energy of in-plane loads $n_{x}(x,y)$ (per unit width) is

P_{n}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.

The potential energy of tip forces $q_{x}(y)$ (per unit width), and bending moments $m_{x}(y)$ and $m_{xy}(y)$ (per unit width) is

P_{t}=\int _{-b/2}^{b/2}\left(q_{x}(y)\,w(x,y)-m_{x}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial x}}+m_{xy}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial y}}\right){\text{d}}x{\text{d}}y\,.

A balance of energy requires that the total energy is

W=U-(P_{q}+P_{n}+P_{t})\,.

With the Reissener–Stein assumption for the displacement, we have

U=\int _{0}^{a}{\frac {bD}{24}}\left[12\left({\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+b^{2}\left({\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+24(1-\nu )\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x\,,

P_{q}=\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yq(x,y)\,{\text{d}}y\right)\theta _{x}\right]\,dx\,,

{\begin{aligned}P_{n}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {dw_{x}}{dx}}\right)^{2}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yn_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right.\\&\left.\qquad \qquad +\left(\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]{\text{d}}x\,,\end{aligned}}

and

{\begin{aligned}P_{t}&=\left(\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}-\left(\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+\left[\int _{-b/2}^{b/2}\left(yq_{x}(y)+m_{xy}(y)\right)\,{\text{d}}y\right]\theta _{x}\\&\qquad \qquad -\left(\int _{-b/2}^{b/2}ym_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\,.\end{aligned}}

Taking the first variation of $W$ with respect to $(w_{x},\theta _{x},x)$ and setting it to zero gives us the Euler equations

{\text{(1)}}\qquad bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}

and

{\text{(2)}}\qquad {\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}

where

{\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}

Since the beam is clamped at $x=0$ , we have

w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.

The boundary conditions at $x=a$ can be found by integration by parts:

{\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}

where

{\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}

Посилання

Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S. "Theory of plates and shells".
A. E. H. Love, On the small free vibrations and deformations of elastic shells, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.
R. D. Mindlin, Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates, Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18 p. 31–38.
E. Reissner and M. Stein.

Зовнішні посилання

Львівський національний університет ім. І. Франка

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[timo-1] Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S. "Theory of plates and shells".

[2] A. E. H. Love, On the small free vibrations and deformations of elastic shells, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.

[Reddy-3] Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.

[4] R. D. Mindlin, Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates, Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18 p. 31–38.

[Reissner51-5] E. Reissner and M. Stein.