Механіка суцільних середовищ

Меха́ніка суці́льних середо́вищ — розділ механіки, фізики суцільних середовищ і фізики конденсованого стану, присвячений вивченню руху і рівноваги газів, рідин, плазми і деформівних твердих тіл.

Основне припущення механіки суцільних середовищ полягає в тому, що речовини можна розглядати як безперервне, суцільне середовище, нехтуючи її молекулярною (атомномю) будовою, і одночасно вважати неперервним розподіл в середовищі всіх його характеристик (густини, напружень, швидкостей часток та ін.). Це обґрунтовується тим, що розміри молекул надзвичайно малі порівняно з розмірами частинок, що розглядаються при теоретичних і експериментальних дослідженнях у механіці суцільних середовищ. Таке припущення дозволяє застосовувати в механіці суцільних середовищ добре розроблений для неперервних функцій апарат вищої математики.

Якщо ${\displaystyle Q}$ - об'єм будь-якої частини рухомої рідини, то ${\displaystyle d\rho Q=0,}$

${\displaystyle Q{\frac {d\rho }{dt}}+\rho {\frac {dQ}{dt}}=0.}$

зміна об'єму може бути виражена через швидкість ${\displaystyle {\textbf {v}}({\textbf {r}},t)}$.

Горизонтальна швидкість точки ${\displaystyle B}$ відносно точки ${\displaystyle A}$ - це ${\displaystyle \delta x\partial v_{x}/\partial x.}$ Через інтервал часу ${\displaystyle dt}$ довжина сторони ${\displaystyle AB}$ стане ${\displaystyle \delta x(1+dt\partial x_{x}/\partial x).}$ Зміна цього об'єму після інтервалу часу ${\displaystyle dt}$ дорівнює

${\displaystyle dQ=dt\delta x\delta y\delta z({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}})=dt\,Q\,\mathrm {div} \,{\textbf {v}}=dt{\frac {dQ}{dt}}.}$

Підставляючи це до першого рівняння отримується рівняння континуальності:

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}+\rho \,\mathrm {div} \,{\textbf {v}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\textbf {v}}+\nabla )\rho +\rho \,\mathrm {div} \,{\textbf {v}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} (\rho {\textbf {v}})=0.}$

Таким чином, для фіксованого об'єму простору зменшення повної маси всередині - ${\displaystyle \int (\partial \rho /\partial t)\,dV}$ дорівнює витоку назовні ${\displaystyle \oint \rho {\textbf {v}}\cdot df=\int \mathrm {div} (\rho {\textbf {v}})dV.}$ [1]

Вхідними у механіці суцільних середовищ при вивченні будь-якого середовища є:

• рівняння руху або рівноваги середовища, які отримуються як наслідок основних законів механіки;
• рівняння неперервності (суцільності) середовища, які є наслідком закону збереження маси;
• рівняння збереження енергії;
• рівняння стану або реологічне рівняння, яке встановлює для кожного конкретного середовища вид залежності між напруженнями і деформаціями або швидкостями деформації середовища, а також залежності характеристик від температури або інших фізико-хімічних параметрів.

Стосовно до конкретної задачі повинні бути задані початкові і граничні умови.

У механіці суцільних середовищ розробляються методи приведення механічних задач до математичних, тобто до задач знаходження деяких чисел або числових функцій з використанням математичних операцій.

Крім звичайних матеріальних тіл, подібних воді, повітрю чи металу, в механіці суцільних середовищ розглядаються також особливі середовища - поля: електромагнітне поле, гравітаційне поле та ін.

Механіка суцільних середовищ ділиться на механіку деформівного твердого тіла та механіку рідин та газів. Кожна з цих дисциплін також ділиться на окремі розділи. Так, механіка деформівного твердого тіла поділяється на теорію пружності, теорію пластичності, механіку руйнування і т. д.