Напруження

Залишкові напруження всередині пластикового транспортира, розподіл яких можна спостерігати у поляризованому світлі

При розгляді питання про міцність конструкції недостатньо знати лише систему сил, що діють на цю конструкцію. Необхідно знати ще її розміри та матеріал, з якого вона зроблена. На початку XIX століття Оґюстен-Луї Коші, відомий французький математик і механік, увів поняття напруження, яке одночасно характеризувало й силові фактори, що діяли в перерізі, й геометричні розміри цього перерізу. Напруження в загальному  — це вектор внутрішніх сил, що діють на одиницю площі даної елементарної площадки при стягуванні її у точку[1].

Причинами виникнення напружень можуть бути: дія зовнішніх сил, вплив температурних полів (термічні напруження) чи перебіг у матеріалі тіла фізико-хімічних процесів. Напруження є результатом взаємодії частинок тіла під впливом зовнішніх факторів (навантажень, змін температури тощо), які прагнуть змінити взаємне розташування частинок, а напруження, що виникають при цьому, перешкоджають зміщенню частинок, обмежуючи його у більшості випадків деякою малою величиною.

Рис. 1 Силові фактори, що виникають на елементарній площинці умовно розрізаного твердого тіла під дією зовнішніх навантажень ${\displaystyle F_{i}}$ за умов рівноваги

Рис. 2 Механічне напруження на елементарній площинці ${\displaystyle \Delta S}$ під впливом зовнішніх силових факторів ${\displaystyle F_{i}}$

Для визначення напружень у довільному перерізі, проведеному через довільну точку тіла, застосовуємо метод перерізів. Через задану точку P (рис. 1), у якій треба визначити напруження, проведемо уявну січну площину, яка розділяє тіло на дві частини. Відкидаємо праву частину тіла і виділяємо навколо точки P елементарну площинку ΔS.

При деформуванні твердих тіл через наявність внутрішніх зв'язків у матеріалі виникають внутрішні силові фактори, котрі можна формально охарактеризувати величиною зусилля, що припадає на одиницю площі. Інтенсивність цих внутрішніх сил у певній точці називають механічним напруженням : ${\displaystyle \sigma }$, яке можна визначити як границю відношення зусилля ${\displaystyle \Delta F}$ до площі ${\displaystyle \Delta S}$, коли ця площа стягується до крапки (рис. 1).

${\displaystyle \sigma =\lim _{\Delta S\rightarrow 0}{\frac {\Delta F}{\Delta S}}.}$

Коли говорити про напруження в точці, слід вказувати його напрям, який у загальному випадку не збігається з напрямком зовнішньої нормалі до площинки. За напрям напруження приймається напрям рівнодійної ${\displaystyle \Delta F}$. Напруження в точці є величиною векторною (рис. 2).

Для випадку кінцевої площі, середнє напруження ${\displaystyle \sigma }$ на площі S можна знайти за формулою:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}}$

F — сила, що виникає в тілі при деформації;

S — площа перетину.

Стан елементарного об'єму тіла довкола даної точки, який характеризується сукупністю всіх векторів напружень називається напруженим станом у точці[1].

Рис. 3 Нормальне напруження σ

Рис. 4 Дотичне напруження τ

Розрізняють два види компонент вектора механічного напруження[1] (див. рис. 3 та 4):

• Нормальне напруження (напруження розтягу-стиску) — зусилля прикладене до одиниці площі перерізу зразка, спрямоване по нормалі до перерізу (позначається ${\displaystyle \sigma }$).
• Дотичне напруження (напруження зсуву) — зусилля прикладене до одиниці площі перерізу зразка, спрямоване у площині перерізу (позначається ${\displaystyle \tau }$).

Поняття напруження у вигляді двох складових — нормальної та дотичної — допомагають зрозуміти види руйнування тіла. Нормальне напруження зумовлює відрив частинок однієї від іншої в умовах розтягу. Дотичне напруження відповідно зумовлює їх взаємний зсув.

Напруження, якими оперують за результатами механічних випробувань, можуть бути дійсними й умовними. Відомо, що в процесі деформації величина площини, на якій діють напруження (площа перерізу зразка), змінюється. Якщо ці зміни не враховують і напруження розглядають як відношення навантаження в даний момент до вихідної площі перерізу (S₀), то їх називають умовними напруженнями. Якщо ж відносять силу до величини фактичного перерізу в даний момент деформування, то одержують дійсне (істинне) напруження[1]. Фізичний зміст мають лише дійсні напруження, проте на практиці часто буває зручніше користуватись умовними. Це особливо виправдано при малих деформаціях, коли зміна площі перерізу зразка є незначною.

Рис. 5 Повний тензор механічного напруження елементарного паралелепіпеда

Якщо окіл точки P (рис.2) обмежити шістьма взаємно перпендикулярними площинами і отриманий елементарний паралелепіпед зорієнтувати ребрами паралельно осям декартових координат, то на кожній із граней паралелепіпеда будуть діяти відповідні напруження. Повні напруження у площинах xy, xz та yz можна розкласти по напрямах, паралельних до осей декартових координат (рис.5). Отримані дев'ять компонентів напружень повністю визначають напружений стан і утворюють тензор механічних напружень (тензор напружень Коші).

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

де

${\displaystyle \sigma _{11}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{22}\,\!}$, і ${\displaystyle \sigma _{33}\,\!}$ —це нормальні напруження, а

${\displaystyle \sigma _{12}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{13}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{21}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{23}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{31}\,\!}$, і ${\displaystyle \sigma _{32}\,\!}$ є дотичними напруженнями.

У загальному випадку напружений стан характеризується тензором механічних напружень, а стан, відмінний від одновісного розтягування-стискання — складним напруженим станом.

Будь-який напружений стан можна розкласти на дві базові складові:

кульову — гідростатичний тиск (кульовий тензор напружень) — обумовлює зміну об'єму (густини) тіла;

девіаторну — стан чистого зсуву (девіатор напружень) — викликає зміну форми тіла.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}}{\begin{matrix}=\\\,\end{matrix}}\underbrace {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{0}&0&0\\0&\sigma _{0}&0\\0&0&\sigma _{0}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}} _{\text{кульовий тензор}}{\begin{matrix}+\\\,\end{matrix}}\underbrace {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}-\sigma _{0}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\sigma _{0}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\sigma _{0}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}} _{\text{девіатор}},}$

де:

${\displaystyle \sigma _{0}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}.}$

Рис. 6 Рівновага виділеного паралелепіпеда у площині xOy

Закон парності дотичних напружень: на двох довільних взаємно перпендикулярних площинах, дотичні напруження, які перпендикулярні до лінії перетину площин, рівні за величиною і протилежні за знаком ${\displaystyle (\tau _{xy}=\tau _{yx},\tau _{zy}=\tau _{yz},\tau _{xz}=\tau _{zx})}$.

Рис. 7 Залежність напружень на гранях паралелепіпеда від орієнтації координатних осей на прикладі плоского напруженого стану

При зміні напрямку координатних осей напруження на гранях елементарного паралелепіпеда змінюються. Теоретично доведено[2], що можна завжди знайти таке положення паралелепіпеда, коли на його гранях ${\displaystyle \tau _{xy}=\tau _{zy}=\tau _{xz}=0}$.

Площини, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю, називаються головними. Нормальні напруження, що діють на головних площинах, називаються головними напруженнями (див. рис. 7).

Головні напруження позначаються: ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ при цьому повинно виконуватись правило ${\displaystyle \sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}}$.

Деякі з головних напружень можуть дорівнювати нулю. В залежності від кількості відмінних від нуля головних напружень розрізняють такі види напруженого стану:

• лінійний (одновісний);
• плоский (двовісний);
• об'ємний (тривісний).

Тензор напружень, як і кожен тензор другого порядку, має три інваріанти, тобто величини, незалежні від системи координат:

${\displaystyle I_{1}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=\operatorname {const} ,}$

${\displaystyle I_{2}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}+\sigma _{2}\cdot \sigma _{3}+\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}=\operatorname {const} ,}$

${\displaystyle I_{3}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=\operatorname {const} ,}$

де ${\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{2},\;\sigma _{3}}$ головні напруження у точці тіла.

Концентрація напружень — збільшення напружень у твердому тілі у місцях зміни форми або порушень суцільності матеріалу[3].

До факторів, що обумовлюють концентрацію напружень (концентраторів напружень), відносяться отвори, порожнини, тріщини, проточки, надрізи, кути, виступи, гострі краї, різь, а також нерівності та дефекти поверхні (риски, подряпини, мітки, зварні шви тощо). У місцях концентрації напружень не є справедливою гіпотеза плоских перерізів і класичні формули опору матеріалів є незастосовними. Для розподілу напружень у зоні концентрації характерною є різка зміна напруженого стану, що супроводжується швидким згасанням напружень з віддаленням від цієї зони.

Для оцінювання ступеня концентрації напружень використовують коефіцієнт концентрації напружень, який характеризує місцеве зростання напружень у зонах їх концентрації у порівнянні з номінальними значеннями.

Релакса́ція напру́жень у матеріалі — самовільне зменшення напружень, пов'язане з перерозподілом деформації між пружною і пластичною[1].

Напруження, що зазнають релаксації або спеціально можуть бути створені при складанні вузлів машин і установок для забезпечення нормальної роботи останніх (наприклад, кріпильні з'єднання, пружні елементи), або вони неминуче виникають в процесі виготовлення деталей (технологічні напруження). Зокрема, релаксація напружень може спостерігатися при вилежуванні деталі після термічної обробки, при низькотемпературному відпуску, при змінному навантаженні в умовах заданої амплітуди деформації тощо. Дослідження показують, що релаксація напружень може відбуватися в різних матеіалах при нормальній, високих, а в ряді випадків і за низьких температур.

Релаксація напружень (подібно до повзучості) є результатом як зсувних дислокаційних, так і дифузійних процесів. Переважна роль того чи іншого явища, яке обумовлює процес релаксації, залежить від робочої температури і від рівня діючих напружень.

• Термічні напруження
• Залишкові напруження
• Діаграма деформування
• Напружено-деформований стан

• Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. — К.: Наукова думка, 1976. — 416 с.
• Опір матеріалів. Підручник / Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993. — 655 с. — ISBN 5-11-004083-4
• Опір матеріалів: Навч. посіб. для студентів ВНЗ. Рекомендовано МОН / Шваб'юк В. І. — К.: Знання, 2009. — 380 с.
• Мильніков О. В. Опір матеріалів. Конспект лекцій. — Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. — 257 с.
• Божидарник В. В., Сулим Г. Т. Елементи теорії пружності. — Львів: Світ, 1994. — 560с. — ISBN 5-7773-0109-6
• Chou, Pei Chi; Pagano, N.J. (1992). Elasticity: tensor, dyadic, and engineering approaches. Dover books on engineering. Dover Publications. с. 1–33. ISBN 0-486-66958-0.
• Timoshenko, Stephen P. (1983). History of strength of materials: with a brief account of the history of theory of elasticity and theory of structures. Dover Books on Physics. Dover Publications. ISBN 0-486-61187-6.

• Напруження механічне // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 131. — ISBN 978-966-7407-83-4.